geometrie (tc)

salut
soit ABC un triangle dont les cotes a, b, c
posons
S=(a+b+c)²
R=a²+b²+c²
1)prouver que 1/3=<R/S=<1/2
2)peut on remplacer 1/2 par un reél <1/2 ?

1) on sait que: a²+b²+c²>=ab+bc+ca
donc 3(a²+b²+c²)>=a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)²
c a d (a²+b²+c²)/(a+b+c)²>=1/3

on sait que a+b>=c alors c(a+b)>=c²
c a d c(a+b)+a(b+c)+b(c+a)>=a²+b²+c²
donc 2(ab+bc+ca)>=a²+b²+c²
c a d a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)>=2(a²+b²+c²)
===> (a²+b²+c²)/(a+b+c)²<=1/2

on ne peut remplacer 1:2 par un reel < 1/2, car cette limite est atteinte pour a=b et c=0, cependant en otant ce cas, on peut demontrer ce resultat en etudiant la continuité de la fonction f : R^3 ---> R
(a,b,c) ===> (a²+b²+c²)/(a+b+c)²

en le point (1,1,0).

3id mabrouk