exercice sur les coniques

a designe un reel strictement positive fixe.
le plan etant rapporte un repere orthonormal (o,i,j),on note A(a,0) ,B(o,a) et (d) la droite (x-y=o)
1/ determiner l'ensemble E1 des points M du plan tels que (M,O) soit une bissectrice des droites (M,A) et (M,B).
2/determiner l'ensemble E2 des points M du plan tels que MB=2MH.MH designent la distance de M a (D).determiner les elements caracteristiques(foyers sommets..)
3/determiner les points d'intersection E1 et E2 et verifier que ce sont les sommets d'un triangle equilateral M1,M2,M3.

Salut,

1) Il faut trouver sommer les vecteurs MA et MB, et faire en sorte qu'ils aient la même norme. Le vecteur obtenu dirige la diagonale d'un losange, et cette droite sera bien une bissectrice des deux droites. (dans un losange, les diagonales sont axes de symétrie)

Ne pas oublier aussi que deux droites sécantes ont en fait deux bissectrices, quiu sont orthogonales entre-elles.


2) Pour le 2, j'ai fait ça :

D'abord, MB=2MH équivaut à MB²-(2MH)²=0 équivaut aussi à (MB-2MH).(MB+2MH)=0

Soit G_1={(B,1);(H,-2)} et G_2={(B,1);(H,2)} deux barycentres.

Alors MB-2MH=MG_1+G_1B-2MG_1-2G_1H=-MG_1 par définition du barycentre.

De même, MB+2MH=3MG_2

Donc MB=2MH équivaut à (MB-2MH).(MB+2MH)=0 équivaut à MG_1.MG_2=0

M est donc situé sur le cercle de diamètre [G_1G_2] (E_2)

Reste à faire les calculs pour trouver les coordonnées de H, G_1 et G_2