Exercice de DM

Bonjour,

J'aurais besoin de votre aide pour cet exercice :


Soit A € (appartenant) Mn(Réel) telle que transposée de A = -A et A^3=0

a) On pose B=A². Montrer que B€Sn(Réel) et B²=0.
En déduire B.

b) Que dire de A ?


Je ne vois pas comment m'y prendre.
Pouvez-vous m'aidez?

Merci

Qu'est ce que tu veux dire par Sn(reel)?

S_n(réel) -> ensemble des matrices à coefficients réels. A E Sn(réel) ssi transp(A)=A

Oui, c'est ça. Sn est l'ensemble des matrices symétriques.

tB = t(A²) = t(A*A) = tA * tA = -A * (-A) = A² = B donc B E S_n

B² = (A²)² = A^4 = 0 car A est nilpotente d'ordre 3

...

: )

Bonjour,

1-B est symétrique réelle donc est diagonalisable avec des valeurs propres réelles que l'on note x1,...,xn
B² est aussi diagonalisable de valeurs propres x1²,...,xn² , or B²=0, donc tous les xi sont nuls et donc B=0

2- A²=0 et A antisymétrique donc A est forcément nulle. ( suffit de voir qu'en notant Eij les matrices élémentaires,(Eij-Eji) est la base des matrices antisymétriques :
Et pour i différent de j on a : (Eij-Eji)²=(Eij)²-EijEji-EjiEij+(Eji)²=Eii-Ejj
donc si A n'est pas nulle, il existe au moins aij#0 , on a donc que le coefficient diagonale d'indice i et d'indice j de A ne seront pas nuls)

Bon courage