troisième olympiade de première [24 février 2012]

alors, qui propose des solutions??

anas012 a écrit:

alors, qui propose des solutions??

Ma solution pour l'exercice 3 est la suivante:
On remarque premièrement que la fonction f est injective.
En effet, si x et y sont deux rééls quelconques tel que f(x)=f(y) alors f(f(x))=f(f(y)).
Ce qui donne f(f(x))-f(x)=f(f(y))-f(y), ou encore x=y.
Ensuite, si l'équation admette une solution alors elle unique.
En effet, si on a f(f(x))=f(f(y))=0, alors f(x)=f(y) et ainsi x=y car f est injective.
D'autre part, on aura pour x=0, f(0)=f(f(0)) et ainsi f(0)=0.
Et si x est soltion de l'équation f(f(x))=0, alors f(f(x))=f(0) ou bien f(x)=0.
Ce qui donne comme solution unique x=0.
Sauf erreurs.

Pour le 2, je crois que c'est faux ! les nombres sont pas des entiers naturels..

Voici ma réponse pour le quatrième:

Solution au problème 4:

Soit I le centre du cercle inscrit au triangle BMK, donc il suffit montrer que: .

On a: AK=MK, donc le triangle AMK est isocèle en K, d'où:
.

De même, on a MK=MC, donc le triangle MKC est isocèle en M, d'où:
.

Et puisque les deux triangles NKM et IKM ont une base commune MK, il s'en suit que ces deux triangle sont isométriques, donc: IM=NK.

Et on a KP=MQ, et , donc les deux triangle IMQ et NKP sont isométriques, d'où:
.
La conclusion s'en suit.

Siba a écrit:

Pour le 2, je crois que c'est faux ! les nombres sont pas des entiers naturels..

il y en a une autre solution dont les nombres sont des entiers naturels

Ex1 : jai pris un triangle EFG rectangle en F avec EF=4 , FG=3 et EG=5
Sa surface = 6
et : a=1
b=1
c=2
d=3

EX 2 :
jai trouvé pour unique solution : S = { (1,3) }

nmo a écrit:

anas012 a écrit:

alors, qui propose des solutions??

Ma solution pour l'exercice 3 est la suivante:
On remarque premièrement que la fonction f est injective.
En effet, si x et y sont deux rééls quelconques tel que f(x)=f(y) alors f(f(x))=f(f(y)).
Ce qui donne f(f(x))-f(x)=f(f(y))-f(y), ou encore x=y.
Ensuite, si l'équation admette une solution alors elle unique.
En effet, si on a f(f(x))=f(f(y))=0, alors f(x)=f(y) et ainsi x=y car f est injective.
D'autre part, on aura pour x=0, f(0)=f(f(0)) et ainsi f(0)=0.
Et si x est soltion de l'équation f(f(x))=0, alors f(f(x))=f(0) ou bien f(x)=0.
Ce qui donne comme solution unique x=0.
Sauf erreurs.

C'est ce que j'ai fait moi-même, j'ai réussi à faire aussi le 2 et 4.

Qui peut proposer une preuve complète pour le 1er ?

Siba a écrit:

Pour le 2, je crois que c'est faux ! les nombres sont pas des entiers naturels..

Voici ma solution pour cet exercice:
La relation donnée, (x+y)^3=(x-y-6)^2, implique l'existance d'un entier a qui satisfait soit le système: x+y=a^2 et x-y-6=a^3, soit le système x+y=a^2 et x-y-6=-a^3.
---Le premier système s'écrit encore 2x=a^3+a^2+6 et 2y=a^2-a^3-6.
On distingue deux cas selon la parité de a:
Si a est pair, il existe un entier k tel que a=2k.
Et * devient après la simplification: x=4k^3+2k^2+3 et y=-4k^3+2k^2-3.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas, car y est négatif.
Si a est impair, il existe un entier k tel que a=2k+1.
Et * devient après la simplification: x=(k+1).(2k+1)^2+3 et y=-k.(2k+1)^2-3.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas, car y est négatif.
---Le second système, quant à lui, il devient 2x=a^2-a^3+6 et 2y=a^2+a^3-6.
De même, on aura les deux cas suivants:
Si a est pair, il existe un entier m tel que a=2m.
Et * devient après la simplification: x=2m^2-4m^3+3 et y=2m^2+4m^3-3.
Si m était supérieur ou égal à 2, x serait négatif et on n'aura plus de solutions.
Si m=1, on tire le couple de solution (x,y)=(1,3).
Si m=0, y serait négatif (qui n'est pas un entier naturel).
Si a est impair, il existe un entier m tel que a=2m+1.
Et * devient après la simplification: x=-m(2m+1)^2+3 et y=(m+1).(2m+1)^2-3.
Si m était supérieur ou égal à 1, x serait négatif et on n'aura plus de solutions.
Si m=0, y serait négatif (qui n'est pas un entier naturel).
==>Dans les deux cas, on n'aura plus de solutions.
Sauf erreurs.

pour le 1er exercice
soit ABC un triangle, AB=x AC=y BC=z , S=abcd
nous avons a+d=2c et a+b=c ainsi a+d-a-b=c ainsi d-b=c donc d=b+c
si ABC est un triangle rectangle en A ce qui veut dire que
S=x.y/2=abcd=(c-b).c.b.(b+c)=(c^2-b^2).bc
donc x.y=2bc.(c^2-b^2)
on donne x=2bc et y=(c^2-b^2) et on montre qu'il s'agit d'un triangle rectangle
x^2+y^2=4(bc)^2 + c^4 + b^4 -2(bc)^2=c^4 + 2(bc)^2 + b^4= (c^2-b^2)^2
et en mettant z=(c^2-b^2) on a x^2+y^2=z^2
et voila la solution

anas012 a écrit:

pour le 1er exercice
soit ABC un triangle, AB=x AC=y BC=z , S=abcd
nous avons a+d=2c et a+b=c ainsi a+d-a-b=c ainsi d-b=c donc d=b+c
si ABC est un triangle rectangle en A ce qui veut dire que
S=x.y/2=abcd=(c-b).c.b.(b+c)=(c^2-b^2).bc
donc x.y=2bc.(c^2-b^2)
on donne x=2bc et y=(c^2-b^2) et on monte qu'il s'agit q'un triangle rectangle
x^2+y^2=4(bc)^2 + c^4 + b^4 -2(bc)^2=c^4 + 2(bc)^2 + b^4= (c^2-b^2)^2
et en mettant z=(c^2-b^2) on a x^2+y^2=z^2
et voila la solution

Joli !

La Solution de nmo au problème 3 rate une solution je propose la mienne :
l’équation est équivalent a
(x+y)²(x+y-1)+4(x-3)(y+3)=0
maintenant si x>3 il nous vient (x+y)²(x+y-1)+4(x-3)(y+3)>0
ainsi x=<3
On essaye les trois cas facilement on trouve que x=1 et y=3 est la seul solution .

Ce sont des olympiades au niveau national ?
en gros, c'était très difficile, j'ai du galérer pendant ces trois heures :/

nmo a écrit:

Siba a écrit:

Pour le 2, je crois que c'est faux ! les nombres sont pas des entiers naturels..

Voici ma solution pour cet exercice:
La relation donnée, (x+y)^3=(x-y-6)^2, implique l'existance d'un entier a qui satisfait le système: x+y=a^2 et x-y-6=a^3.
Ce qui s'écrit encore 2x=a^3+a^2+6 et 2y=a^2-a^3-6.==>(*)
On distingue deux cas selon la parité de a:
Si a est pair, il existe un entier k tel que a=2k.
Et * devient après la simplification: x=4k^3+2k^2+3 et y=-4k^3+2k^2-3.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas, car y est négatif.
Si a est impair, il existe un entier k tel que a=2k+1.
Et * devient après la simplification: x=(k+1)(2k+1)^2+3 et y=-k(2k+1)^2-3.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas, car y est négatif.
Dans les deux cas, on n'aura plus de solutions.
Sauf erreurs.

c'est plutot __ x-y-6=+-a^3___
tu trouves que _x-y-6=-a^3_ juste et ...

le 4ème exercice j'ai pas pu avoir le dessin pfffffffffffffff!
mais comme même çava!

je n'ai pas trouver des nombres entiers naturels!! qui a résolu le 1er exercice , moi à chaque démonstration , j'arrive à la fin mais je réduit ou bien a ou d

exo2 s=(-3;3) (3;-3)

wentworth a écrit:

exo2 s=(-3;3) (3;-3)

Cela est fau car x et y de N* !!

je propose cette solution pour l'exo 3
on a x+f(x)=f(fx)
f(f(x))=0
<=> f(x)=-x
=> f(f(x))=-f(x)
=>f(x)=0
et en remplacant dans la premiere relation on trouve que
x=0
reciproquement si x=0
alrs f(0)=f(f(0))=0 (pour tt x£Q f(x)=f(f(x))=>f(x)=x)
d'ou x=0 est seul solution du probleme

ryuuzaki omra a écrit:

je n'ai pas trouver des nombres entiers naturels!! qui a résolu le 1er exercice , moi à chaque démonstration , j'arrive à la fin mais je réduit ou bien a ou d

on pose x=1 et Y=3
Pour la methode dsl car je sais pas bien écrire des caractères...

pour le 2ème exo;
dans le cas de x=y, on résoud l'équation normalement, x=y=3
dans le cas de x=/ y, j'ai suivi cette méthode ms elle ne m'a rien donné:
x^3 + 3x²y + 3xy² + y^3 = x² -2x(y+6) + (y+6)²
x^3 + (3y-1)x² + (3y²+2y+12)x + y^3 - y² -12y-36 =0
1=0 imp et 3y-1 = 0 <=> y= 1/3 imp (y E |N*) et 3y²+2y+12 =0 imp ( delta = -140<0)
et y^3 -y² -12y -36=0 imp

comme toi "maths_lady" je me suis arrêter à y^3-y²-12y-36=0!

pour le 2 éme exo ya pas de solutions .
je propose a vous pour le dernier exo la methode de talés
c'est vraiment efficace
essayez
bonne chance

diablo902 a écrit:

c'est plutot __ x-y-6=+-a^3___
tu trouves que _x-y-6=-a^3_ juste et ...

C'est ça ma faute d'inattention.
Je vais éditer ma solution plus tard.

svp qui a la solution du 1 er exo

c'est un exercice tres important