Préparation olympiades 2013

Bonsoir j ouvre la préparation avec un exercise :

Exercise1:

trouver tous f(x) sachant que : R->R
xf(x)-yf(y)=(x-y)f(x+y)

Salamoalikum
xf(x)-yf(y)=(x-y)f(x+y) <=> xf(x)-yf(y)= xf(x+y)-yf(x+y)
<=>x(f(x)-f(x+y))=y(f(y)-f(x+y)) <=> (f(x)-f(x+y))*(x+y)=0
<=> x=y ou f(x)=f(x+y)
f(x)=f(y) ou f(x)=f(x+y)
Je crois que c bon! Y a t-il des fautes, veuillez me les corriger
Merci

ryuuzaki omra a écrit:

Salamoalikum
xf(x)-yf(y)=(x-y)f(x+y) <=> xf(x)-yf(y)= xf(x+y)-yf(x+y)
<=>x(f(x)-f(x+y))=y(f(y)-f(x+y)) <=> (f(x)-f(x+y))*(x+y)=0
<=> x=y ou f(x)=f(x+y)
f(x)=f(y) ou f(x)=f(x+y)
Je crois que c bon! Y a t-il des fautes, veuillez me les corriger
Merci

Bonsoir!
Pourrais tu réviser la ligne: x(f(x)-f(x+y))=y(f(y)-f(x+y)) <=> (f(x)-f(x+y))*(x+y)=0 ca parrait fausse et puis tu devrais me citer toutes les fonctions f(x) possible au lieu de me donner f(x) en fonction de f(x+y) faut la donner en fonction de x ou C (constante)
Good luck!!

wé c vrai elle est fausse sorry faute d’inattention.

No blem!

On pose : P(x,y) l'assertion : xf(x)-yf(y)=(x-y)f(x+y) . de P(x,-x) on obtient f(x)+f(-x)=c (*) quelque soit x (avec c une constante réel) . de P(1-x,-1) on obtient : (1-x)f(1-x)+f(-1)=(2-x)f(-x)quelque soit x dans R . Ainsi de la relation (*) on obtient une nouvel assertion : A(x): (1-x)f(1-x)+(2-x)f(x)=ax+b (avec a et b des constante réels) . en combinant A(1-x) et A(x) on arrive a isolé le f(x) ; ceci revient a f(x) [x(1-x)-(x-x²+2)]=a(1-3x)-2bx d'ou f(x)=tx+u quelque soit x (avec t,u appartient a R) qui vérifie l' EF .






.

voici un exercice d'olympiades

EXERCICE 2
a, b ,c >=0
prouver que
a²+b²+c²+2abc+1>= 2(ab+bc+ac)
BONNE CHANCE

lol ; un ami vient de me proposer cette exercice ce matin , voici ma démo : l'inégalité est équivalente a : (a-b)²+2c(a-1)(b-1)+(c-1)² >=0 , posant mnt : a=x+1 , b=y+1 , c=z+1 l'inégalité est une nouvel fois équivalente a : x²+y²+z²+2xyz >=0 , avec x >= -1 , y>=-1 ,z>=-1 . si x,y,z>0 l'inégalité est vérifier , si les trois sont négatif ou et l'un des trois est négatif , puisque l'inégalité est symétrique , il suffit d'étudier le cas ou : xy >0 et -1<z<0 on a : x²+y²+z²+2xyz >=x²-2xy+y²+z²=(x-y)²+z² >=0 , d'ou le résultat , sauf erreur ....

Exercice 3: trouver toute les fonctions : tel que : , .

Oty a écrit:

lol ; un ami vient de me proposer cette exercice ce matin , voici ma démo : l'inégalité est équivalente a : (a-b)²+2c(a-1)(b-1)+(c-1)² >=0 , posant mnt : a=x+1 , b=y+1 , c=z+1 l'inégalité est une nouvel fois équivalente a : x²+y²+z²+2xyz >=0 , avec x >= -1 , y>=-1 ,z>=-1 . si x,y,z>0 l'inégalité est vérifier , si les trois sont négatif ou et l'un des trois est négatif , puisque l'inégalité est symétrique , il suffit d'étudier le cas ou : xy >0 et -1<z<0 on a : x²+y²+z²+2xyz >=x²-2xy+y²+z²=(x-y)²+z² >=0 , d'ou le résultat , sauf erreur ....

Si tu la trouvée tout seul , Bravo !
En fait (a-b)²+2c(a-1)(b-1)+(c-1)² >=0 suffit pour conclure.
Car il existe toujours entre a,b et c 2 nombres qui seront soit tous les 2 inférieurs à 1 soit tous les 2 supérieurs à 1 , par symetrie , on suppose que c'est a et b d'où la conclusion .

Merci , Sporovitch

Je ne sais pas si c'est juste mais j'ai utiliser réeordonnement et j'ai trouvé :
ab c + 1x1 + b ac > ab +bc + ca et on a a² + b² +c² > ab +bc +ca ( a² + b² > 2ab ... )
donc on sommant on trouve l'inégalité posée