Préparation aux olympiades.

Bonsoir,  j'ai l'honneur de vous annoncer le lancement d'un nouveau sujet concernant la préparation des olympiades de tronc commun . Même si le nombre des forumistes au tronc commun est très très  très très limité. Donc  cette preparation comme ttes les autres vise la progression du niveau avant tout.
LES règles sont les memes que les autres; la plus importante est le respect entre les participants . ( s"il y en a    )
JE lance un appel a nos aînés pour participer eux aussi de temps en temps    
Prière de numeroter les exos .
celui qui repond a l exo en cours peut poster un nouveau.
Si la réponse n est pas donnée apres 24 heures ; celui qui a poster l exo devra poster la réponse .
Merci de participer !!!
Je commence :
EXO 1
a.  b et c des réels positifs Montrez que
(a/b)^2 + (b/c)^2 + (c/a)^2 >= a/b + b/c + c/a

peut-on utiliser des inégalité comme am-gm/CS/...

on sait que X²+Y²>=2XY
alors:(a/b)²+(b/c)²>=2a/b*b/c
(a/b)²+(b/c)²>=2a/c
et : (b/c)²+(c/a)²>=2b/c*c/a
(b/c)²+(c/a)²>=2b/a
et : (a/b)²+(c/a)²>=2a/b*c/a
(a/b)²+(c/a)²>=2c/b
alors (a/b)²+(b/c)²+(b/c)²+(c/a)²+(a/b)²+(c/a)²>=2a/c+2b/a+2c/b
simplification:2((a/b)²+(b/c)²+(c/a)²)>=2(a/c+b/a+c/b)
donc:(a/b)²+(b/c)²+(c/a)²>=a/c+b/a+c/b
il suffit maintenant a démontrer que a/c+b/a+c/b>=a/b+b/c+c/a
prenons par exemple le cas que a>=b>=c
donc:a>=c et 1/c>=1/a
alors:a/c>=c/a
meme chose pour b/a>=a/b et c/b>=c/a
comme ca on demontrera que a/c+b/a+c/b>=a/b+b/c+c/a
et comme
(a/b)²+(b/c)²+(c/a)²>=a/c+b/a+c/b>=a/b+b/c+c/a
alors :
(a/b)²+(b/c)²+(c/a)²>=a/b+b/c+c/a
svp je voudrais savoir si c'est juste please!!
je propose un exercice 2:
soit a et b des réels positives montre que: rac(2a+1)+rac(2b+1)<=a+b+2

aminesm a écrit:

on sait que X²+Y²>=2XY
alors:(a/b)²+(b/c)²>=2a/b*b/c
       (a/b)²+(b/c)²>=2a/c
et   : (b/c)²+(c/a)²>=2b/c*c/a
       (b/c)²+(c/a)²>=2b/a
et   : (a/b)²+(c/a)²>=2a/b*c/a
       (a/b)²+(c/a)²>=2c/b
alors (a/b)²+(b/c)²+(b/c)²+(c/a)²+(a/b)²+(c/a)²>=2a/c+2b/a+2c/b
simplification:2((a/b)²+(b/c)²+(c/a)²)>=2(a/c+b/a+c/b)
donc:(a/b)²+(b/c)²+(c/a)²>=a/c+b/a+c/b
il suffit maintenant a démontrer que a/c+b/a+c/b>=a/b+b/c+c/a
prenons par exemple le cas que a>=b>=c
donc:a>=c et 1/c>=1/a
alors:a/c>=c/a
meme chose pour b/a>=a/b et c/b>=c/a
comme ca on demontrera que a/c+b/a+c/b>=a/b+b/c+c/a
et comme
(a/b)²+(b/c)²+(c/a)²>=a/c+b/a+c/b>=a/b+b/c+c/a
alors :
(a/b)²+(b/c)²+(c/a)²>=a/b+b/c+c/a
svp je voudrais savoir si c'est juste please!!
je propose un exercice 2:
soit a et b des réels positives montre que: rac(2a+1)+rac(2b+1)<=a+b+2

Attention
il y une contradiction entre ce que tu a supposé et ce que tu as déduit
(b/a>=a/b) donne que b>=a

ah oui faudras faire b>=a>=c??

même problème il semble que tu dois changer la route.

Je ne veux pas m'immiscer dans le cours de soutien que donne M. L_W_P, mais j'aimerai seulement animer cette page en proposant une solution à l'exercice de M. Aminesm:

je propose un exercice 2:
soit a et b des réels positives montre que: rac(2a+1)+rac(2b+1)<=a+b+2


La méthode que j'ai proposée ne sera jugée exacte sans l'aval de M. L_W_P.

Un dernier mot M. Aminesm, j'aimerai vous faire remarquer que vous avez une très grande chance d'avoir comme encadrant M. L_W_P, qui nous a fait - à nous tous et à maintes fois - profiter de son savoir.

Merci.

oui M.aymanemaysae je suis tout a fait d'accord avec toi nous (tous membre du forum) lui sommes reconnaissants
j'ai une toute petit question sur la resolution de l'excercice
tu as remplace a+b+2 par (2a+1)+(2b+1)+2 ce n'est pas faux??

Non M.Aminesm, j'ai remplacé a+b+2 par 1/2 ((2a+1)+(2b+1)) puis le 2 est passé du côté des racines.


Merci 

ah oui oui j'ai pas attention desolé

Merci d'avoir participer -- et numerotez les exos !
SOLUTION DE L'EXO2
on utilise le fait que a^2>= 0 donc a^2 + 2a+1>= 2a+1 donc (a+1)^2>=2a+1 d'ou a+1>V(2a+1) de meme b+1 >V(2b+1)
En additionnant les deux ineq on trouve le resultat voulu !

Mr aymanemaysae ! Merci d avoir participer !! Je vous propose de poster un exercice 3 qui nous sera bénéfique vu votre expérience et votre niveau !! Un genre d exo qui pourra être dans l'épreuve !!!

Je crois qu'il est temps que je poste la solution de l exo 1
la première méthode ( ma propre solution posons a=x/y et b=y/z et c=z/x
maintenant on doit démontrer que a^2 +b^2 +c^2 >= a+b+c pour abc=1
On a par c.s 3(a^2+b^2+c^2)>=(a+b+c)^2 et selon l.iag a+b+c>=3 parce que abc=1 . En multipliant les 2 ineqs on trouve l ineq voulue ^_^
Deuxième methode que je trouve ingénieuse due a mon cher ami Ahmed taha :

on a (x/y)² +1> 2x/y et la même chose pour les autre alors on trouve   (x/y)² +(y/z)² +( z/x)²+3> 2(x/y+y/z + z/x)puisque  (x/y)² +(y/z)² +( z/x)²>3 alors 2((x/y)² +(y/z)² +( z/x)²)>(x/y)² +(y/z)² +( z/x)²+3> 2(x/y+y/z + z/x)
J'attends votre exo mr aymanemaysae !^^

Bon,je vais poster en prenant le tour de Mr aymanemaysae afin de ne pas perdre de temps. Je propose un exo bien habitué qui a été posé l’année dernière dans une olympiade de TC
exo 3
soient a,b,c des nombres réels.tels que
quelque soit x de [-1,1] on a lax^2+bx+cl=<1
1) prouver que lcl=<1
2) prouver -1=<a+c=<1
3) et déduire a^2+b^2+c^2=<5

https://mathsmaroc.jeun.fr/t19953-preparation-aux-olympiades-2012-2013 c a peu près le même -- mais tant mieux j'ai pas compris la solution postée dans l'autre sujet ^^

bon voila exo 4
soient a,b,c des réels positifs strictement tels que
a+b+c<(1/a)+(1/b)+(1/c) et abc>1
prouver que l'un de ces nombres est inférieur à 1
(il est facile mais il fait appeler à une astuce que j'aimerais que tu connaisse, cet exo est déjà posté l'année dernière TC)

Spoiler:

je m'excuse, je n ai pas d exercices niveau TC pour le moment

Solution de l exo 4
On a selon C.S
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=9 et on a a+b+c <1/a+1/b+1/c donc (1/a+1/b+1/c)^2>9 d'où 1/a+1/b+1/c>3 ..par symetrie de roles on suppose que a>b>c donc 1/a<1/b<1/c d'ou 3/c>1/a+1/b+1/c>3 d'ou 3/c> 3 <---> c<1
J'espere que c juste.

En attente de la confirmation je propose un exercice
EXO 5
Calculer la somme suivante :
S=1×2×3+2×3×4+3×4×5+....n(n+1)(n+2)

Je suis un fan des sommations, et je n'ai pas pu m'empêcher de me jeter tête première dans la résolution de cette exercice:

Comme j'aime donner les secondes méthodes dans les exercices de sommation, on peut évidemment conjecturer et montrer par réccurence, ou autrement considérer un polynôme de 4ième degré tel que
P(x+1)-P(x)=x(x+1)(x+2) puis déterminer le polynome . certes cette méthode est longue et éprouvante. mais il est bon de la connaître.
Je vous donne un autre exercice de sommation
S=1+2-3-4-5+6+7-8-9-10+...+2011+2012-2013-2014-2015
Chaque 2 signes + sont suivis par 3 signes -

Merci de numéroter les exos
Exo 6 :
S=1+2-3-4-5+6+7-8-9-10+...+2011+2012-2013-2014-2015
Chaque 2 signes + sont suivis par 3 signes -
Et merci de poster la solution de l exercice 3 .

S=(-1-2-3...-2015)+2(1+2+6+7+11+12...2011+2012)
= - 2015*2016/2 + 2(1+6+11...(1+5*402))+2(2+7+12..(2+5*402))
= - 2015*1008 + 403*2012 + 403*2013
= - 409045
sauf erreur

Autre Méthode  exo 6
S=(1+2-3-4-5+6+7-8-9-10.......+2011+2012-2013-2014-2015)
2(+) est suivie par 3 (-)
alors S=-9-14-19-......-2019
d’où
S=-9-(9-5*1)-9-(5*2)........-9*(5*402)
S=-9*403-5(1+2+3.....+402)
S=-9*403-5(402*403)/2
sauf erreur

ce qui ne donne pas le meme resultat que le mien.
je crois que c'est moi qui ai tort :/ (pouvez-vous me montrer mon erreur je vous en prie?)

a vous de poster