Préparation aux olympiades.

Elidrissi a toi de poster l exo 41

soit x1 x2 et x3 les racines de x^3-6x^2+ax+x=0
sachant que (x1-1)^3+(x2-1)^3+(x3-1)^3=0 determiner les valeurs de a et les valeures de x1 x2 et x3 pour chaque valeure de a

Ecrire le polynome sous forme : P(x)=x^3-6x^2+x(a+1) -- Utiliser les relations de Viète on aura x1+x2+x3=6 et x1x2 +x2x3+x1x3=a+1 et x1x2x3=0 -- Et puis simplifier l'expression donnée on aura un simple système a résoudre en utilisant l'identité de Gauss --
Je suis tellement malade que je ne peux pas rediger la réponse .. DESOLÉ!

c est plutot non?x^3-6x^2+a(x+1)
du coup sigma 1 =6 ;sigma 2 =a ,sigma 3 = -a
sinon on considere que c est juste. a toi

Désolé --- Je propose cette équation diophantienne très intéressante :
Exercice 42 : Résoudre en |N x^2+y^2+z^2=2xyz .

Exo 42:

Si xyz=0, alors x=y=z=0 sinon on obtient une absurdité, donc l'équation a une solution triviale : x=0; y=0 et z=0 .

Si xyz>0, on a x^2+y^2+z^2=2xyz, donc x^2+y^2+z^2 est pair, donc on a deux cas:

a) Un et un seul des x, y et z est pair et les deux autres impairs.
Puisque x, y et z jouent le même rôle dans l'équation, donc on peut sans porter atteinte à la généralité, supposer que x=2X, y=2Y+1 et z=2Z+1 avec X<x, Y<y et Z<z, donc x^2+y^2+z^2=2xyz <--> 2(X^2+Y^2+Z^2+Y+Z)+1=2(4XYZ+2XY+2XZ+X) : donc notre supposition est fausse car un nombre impair ne peut égaler un nombre pair.

b) x, y et z sont tous pairs, donc x=2X, y=2Y et z=2Z avec X<x, Y<y et Z<z, donc x^2+y^2+z^2=2xyz <--> X^2+Y^2+Z^2=4XYZ, donc X,Y et Z sont tous pairs en suivant le même raisonnement du début jusqu'à la fin de a), donc on pose que X=2X1, Y=2Y1 et Z=2Z1, donc on a X^2+Y^2+Z^2=4XYZ <--> X1^2+Y1^2+Z1^2=8X1Y1Z1, ce qui nous mène vers une équation Xn^2+Yn^2+Zn^2=2^n XnYnZn avec n aussi grand que l'on veut et Xn,Yn,Zn qui deviennent négatifs ce qui est contradictoire avec le fait que IN possède une borne inférieure, donc notre supposition est fausse par le principe de la descente infinie.

donc l'équation n'a qu'une solution triviale : x=y=z=0 .

J'espère que c'est juste.

Bon rétablissement M. Bianco_Verde.

Merci !
Exo 43 :
Résoudre, dans Z², l'équation : x^3-y^2=2

Exo 43:

x^3 - y^2 = 2 --> x et y sont de même parité.
1) x et y pairs:
Soit x=2X et y=2Y avec X et Y des entiers relatifs.
x^3 - y^2 = 2 <--> 8X^3-4Y^2=2 <--> 2(2X^3-Y^2)=1 : résultat absurde.

2) x et y sont impairs:
Soit x=2X+1 et y=2Y+1 avec X et Y des entiers relatifs.
x^3 - y^2 = 2<--> 4X^3+3X^2+3x-2Y^2-2Y=1<-->4X^3+3X(X+1)-2Y^2-2Y=1
comme X(X+1) est pair donc 4X^3+3X(X+1)-2Y^2-2Y est pair, donc 4X^3+3X(X+1)-2Y^2-2Y=1 est un résultat absurde.

Donc x^3 - y^2 = 2 n'admet aucune solution dans Z.

J'espère que le résultat est juste.

aymanemaysae a écrit:

Exo 43:

x^3 - y^2 = 2 --> x et y sont de même parité.
1) x et y pairs:
Soit x=2X et y=2Y avec X et Y des entiers relatifs.
x^3 - y^2 = 2 <--> 8X^3-4Y^2=2 <--> 2(2X^3-Y^2)=1 : résultat absurde.

2) x et y sont impairs:
Soit x=2X+1 et y=2Y+1 avec X et Y des entiers relatifs.
x^3 - y^2 = 2<--> 4X^3+3X^2+3x-2Y^2-2Y=1<-->4X^3+3X(X+1)-2Y^2-2Y=1
comme X(X+1) est pair donc 4X^3+3X(X+1)-2Y^2-2Y est pair, donc 4X^3+3X(X+1)-2Y^2-2Y=1 est un résultat absurde.

Donc x^3 - y^2 = 2 n'admet aucune solution dans Z.

J'espère que le résultat est juste.

Bonsoir Aymanemaysae, 27-25=2 .

Merci M. Humber, l'erreur que j'ai commise est fatale: même si je la rectifie cela ne mène à rien, donc je prèsente ci-dessous une solution que j'ai copiée sur Internet:

Z[sqrt(-2)] is a unique factorization domain, and its only units are
1 and -1. Write

x^3 = y^2 + 2 = (y + sqrt[-2])*(y - sqrt[-2])

Notice that GCD(y+sqrt[-2], y-sqrt[-2]) | 2*sqrt[-2]. Now it follows
from unique factorization and the fact about the units that for some
z in Z[sqrt(-2)],

y + sqrt(-2) = z^3 or z^3*sqrt(-2) or z^3*(-2)

Taking complex conjugates, we then have

y - sqrt(-2) = w^3 or w^3*sqrt(-2) or w^3*(-2)

where w is the conjugate of z. Hence, multiplying these together,

x^3 = y^2 + 2 = (z*w)^3 or -2*(z*w)^3 or 4*(z*w)^3

Since w*z is in Z, unique factorization in Z implies that

y^2 + 2 = (z*w)^3,

and

y + sqrt(-2) = z^3
y - sqrt(-2) = w^3

Now let z = u + v*sqrt(-2), with u and v in Z. Then w = u -
v*sqrt(-2), and

y + sqrt(-2) = u^3 + 3*u^2*v*sqrt(-2) - 6*u*v^2 - 2*v^3*sqrt(-2)
y - sqrt(-2) = u^3 - 3*u^2*v*sqrt(-2) - 6*u*v^2 + 2*v^3*sqrt(-2)

Subtracting the second from the first,

2*sqrt(-2) = 6*u^2*v*sqrt(-2) - 4*v^3*sqrt(2)
1 = 3*u^2*v - 2*v^3
1 = v*(3*u^2-2*v^2)

This implies that v = 1 or -1, and it's easy to see that the only
solutions are v = 1, u = 1 or -1. Then

x = w*z = 3

y = u^3 - 6*u*v^2
= u*(u^2-6*v^2)
= -5*u
= 5 or -5

Je m'excuse pour l'erreur commise.

Mr aymanemaysae ;; a vous de poster l exercice suivant !

Exo 44:

Soit c un nombre premier tel que 11c + 1 soit le carré d’un entier. Déterminer c .

11c+1 un carré parfait 
<==> 11c+1=a² (a£N)
<==> 11c=(a-1)(a+1) 
et puisque c £ N alors : (a-1 =11 et a+1=c) ou (a-1=c et a+1=11)
on résout puis on trv  c=13

Bravo M. AMIRAL.

Une autre solution est comme suit:

Amiral a écrit:

11c+1 un carré parfait 
<==> 11c+1=a² (a£N)
<==> 11c=(a-1)(a+1) 
et puisque c £ N alors : (a-1 =11 et a+1=c) ou (a-1=c et a+1=11)
on résout puis on trv  c=13

Le passage "c £ N alors : (a-1 =11 et a+1=c) ou (a-1=c et a+1=11)" me parait mal justifié

il serait mieux de mentionner que c est premier alors on peut écrire c sous forme de
c=(a-1)k ou c=(a+1)k (k de N) sauf si (a-1=c et k=1) ou (a+1=c et k=1)
heureusement 11 est aussi premier

Exercice 46 :
a,b,c,x,y et z des reels positifs tels que a+b+c=x+y+z
Montrez que ax(a+x) + by(b+y) +cz(c+z) >= 3(abc+xyz)

Bonne chance !

C'est un très bel exercice dont j'ai vu la solution dans un livre quand je m'entraînais sur les "Inéquations" au temps du "marathon des inégalités": merci M. Bianco_Verde de m'avoir permis de m'en souvenir.

Je rappelle aussi que l'exercice 45 que j'ai proposé reste sans solution.

C la meme solution que celle de si VASILE CIRTOAJE ! Bravo !
Je vous propose de poster une inegalite ^^

Je suis vraiment desole ; j'ai oublié votre exercice !

A propos de l'exercice 45, voici une proposition de solution:

Exo 47:
Soient a;b;r;x;y £ IR tels que (x+a)^2 + (y+b)^2 = r^2.
Trouver la valeur minimale de x^2 + y^2 .

lensemble des (x;y) tq (x+a)^2 + (y+b)^2 = r^2. correspond au cercle de centre (-a,-b) et de Rayon r.
On considère x²+y²=R² ,  qui constitue un cercle de centre O et de rayon r. il sagit alors de trouver la plus petite valeur de R tq les deux cercles se coupent. cad quand il seront tangeant. donc il clair que la valeur ne serait autre que R= |sqrt(a²+b² )-r| .
alors le max de x²+y² n'est autre que (sqrt(a²+b² )-r)²
jespère que je nai pas fait derreur. et désolé pour l'orthographe pourrie.

Démonstration de "Maître".
Bravo.