Préparation aux olympiades.

legend-crush a écrit:

lensemble des (x;y) tq (x+a)^2 + (y+b)^2 = r^2. correspond au cercle de centre (-a,-b) et de Rayon r.
On considère x²+y²=R² ,  qui constitue un cercle de centre O et de rayon r. il sagit alors de trouver la plus petite valeur de R tq les deux cercles se coupent. cad quand il seront tangeant. donc il clair que la valeur ne serait autre que R= |sqrt(a²+b² )-r| .
alors le max de x²+y² n'est autre que (sqrt(a²+b² )-r)²
jespère que je nai pas fait derreur. et désolé pour l'orthographe pourrie.

Et que dire si r était négatif. 
Par ailleurs, c'est une bonne façon de voir les choses.

L-crush -- a tooi de poster un exercice -- inegalite si possible !! ^^

demontrez que 1/9+1/16+1/25+...+1/n²<1

pour ton prob utiliser 1/k² <1/k(k-1) =1/(k-1)-1/k
==> 1/9+1/16+1/25+...+1/n² < 1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5....+1/(n-1)-1/n= 1/2 -1/n < 1/2

Edit

legend-crush a écrit:

D'aprés la formule de Héron  on a : s =sqrt (p(p-a)(p-b)(p-c)) où p=1/2(a+b+c) est le demi périmétre
d'aprés IAG on a : (p-a)(p-b)(p-c)=<((p-a+p-b+p-c)/3)^3=p^3/27
donc S²=<p^4/27 D'où S=p²/3sqrt(3)  càd 4S=< (a+b+c)²/sqrt(3)  (1)
Par ailleurs 2ab=<a²+b² , 2bc=<b²+c² et 2ca=<c²+a²
donc 2(ab+bc+ca)=<2(a²+b²+c²)
donc a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)=<3(a²+b²+c²)
d'où (a+b+c)²=<3(a²+b²+c²) (2)
des relations (1) et (2) on déduit 4S=<a²+b²+c²/sqrt(3) CQFD

exo 48 :  

Without using calculus, to find min. And max. Value of

La fonction f: IR ---> IR
                  x i---> f(x) = sin x (1 - (sin x)^2)
est définie et dérivable sur IR , de plus elle est périodique de période 2 pi et impair, donc on peut faire notre étude sur [0;pi].

De plus, on a f(pi-x)=f(x), donc sur [0;pi] la courbe de f(x) admet un axe de symétrie d'équation y=pi/2, donc l'étude sera restreinte sur [0;pi/2].

On a aussi f'(x) = 3 cos x(racine(3)/3 + sin x) (racine(3)/3 - sin x) qui s'annule en racine(3)/3 sur [0;pi/2].

On a f'(x)> 0 sur ]0;pi/2[ et f'(x)< 0 sur ]pi/2;pi[, donc f admet un maximum en racine(3)/3,

donc sur [-pi;pi] on a f admet un maximum en racine(3)/3 et par suite en pi - racine(3)/3, et admet aussi des minimums en -racine(3)/3 et -pi + racine(3)/3 .

.

il y a une faute dans l'énoncé car f(x)=/=1
je pense que c'est f(0) ou f(1)

Vous avez raison: f(1) = 1 et non f(x) = 1 .

Bonne chance.

Les visiteurs de cette page sont allés scruter d'autres horizons, donc pour les générations futures, voici une proposition de solution rédigée par l'auteur de l'exercice.

Je propose cet exercice :
Prouver qu'il n'existe pas de quadruplets(x,y,z,t) d'entiers strictement positifs tels que :
x^2+y^2=3 (z^2+t^2)

3|x²+y² => 3|x et 3|y (on peut le montrer en etudiant les residus dun carré mod 3 )
==> 3|z²+t² => 3|z et 3|t
et on voit que si (x,y,z,t) solution alors (x/3,y/3,z/3,t/3) solution . contradiction selon le principe de la descente infinie.

Solution exercice 49
f(2002)=<f(2001)+1=<........=<2002    (*)     (utiliser f(1)=1)
f(2002)>=f(1997)+5>=..........>=f(2)+399*5+5
il ne reste que calculer f(2)
f(2)=<f(1)+1=< 2
f(2)>=f(-3)+5>=f(-3)+1+4>=f(-2)+4>=f(1)+1>=2
donc f(2)=2
d'où f(2002)=2002
et puis g(2002)=1.
Sauf erreur

legend crush a toi de poster un exercice !

.

Exercice 50 :
Trouver toutes les applications de |R sur |R telles que
f(x^2+y)=f(y^2)+f(x)

PERSONNE !!!     

solution exo 50
P(0;0)----> f(0)=0
P(x,-x^2) ----> f(0)=f(x^4)+f(x^2)  -----> f(x^4)=-f(x^2)
P(x;0)---> f(x^2)=f(x)
P(x,x^2) ------> f(2x^2)=f(x^4)+f(x) -----> f(2x^2)=0 ----> f(x^2)=0 ---> f(x)=0

Pourquoi  f(2x^2)=0 ----> f(x^2)=0 ... ? Est-ce qu'on ne doit rien prouver avant ?

on remplace x par (x/sqrt(2))

On remplace dans f(2x^2)=0