Préparation aux olympiades.

Bonsoir.

On a pour n appartenant à IN*,  21n+3 =3(7n+1) et 14n+2=2(7n+1), donc 7n+1 est le PGCD de (21n+3) et (14n+2), avec 7n+1 supérieur ou égal à 8, donc (21n+3)\(14n+2) est réductible.

Pour n=0 on a (21n+3)\(14n+2)=3\2 fraction irréductible.

L'énoncé de l'exercice aurait dû être: pour n appartenant à IN*, montrer que (21n+3)\(14n+2) est réductible. 

L'exercice 11 est très interessant, Merci M. ElIdrissi pour m'avoir orienté vers ce genre d'exercice.

L'exercice est en fait montrer que 21n+4/14n+3 est irrecductible, ce qui est résolvable usant de Bezout.

si l'exercice est pour (21n+4)/(14n+3), on a :

3*(14n+3) - 2*(21n+4) = 42n+9-42n+8=1, donc par le théorème de Bezout , 14n+3 et 21n+4 sont premiers entre eux, donc (21n+4)/(14n+3) est irréductible.

Pour animer le sujet, je propose  de montrer que: 10001^10001 + 10001^401 est un carré parfait.

desolé, vous avez raison. faute de frappe. Mr aymane je vais travailler sur votre "colosse aux pieds d argil" comme vos l appellez

Je rappelle qu'il y a toujours un exercice non résolu.
EXO.7 TROUVER TOUS LES POLYNOMES TELS QUE P(1)=2 ; P(2)=4 ; P(4)=7 ; P(6)=8 .

aymanemaysae a écrit:

si l'exercice est pour (21n+4)/(14n+3), on a :


Pour animer le sujet, je propose  de montrer que: 10001^10001 + 10001^401 est un carré parfait.

10001^10001 + 10001^401 = 1+1=2 [10]
il nest donc pas un carré parfait. sauf erreur.

En ce qui concerne l'exercice 7, il faut préciser de quels polynômes on parle: je présume qu'il s'agit des élèments de IR[X], n'est ce pas?
De plus, je crois qu'il faut préciser le degré minimal des polynômes en question, car on peut à la main tracer des courbes à volonté qui passent par les quatres points (1;2), (2;4), (4;7) et (6,.

je crois que polynome est de degré 3 . sinon il yen aurait infiniment
si c est le cas, on utilise ll'interpolation lagrangienne tout simplement ^^

Désolé, mais c'est un carré parfait, et ce n'est qu'un cas particulier d'un problème plus général.

Le problème utilise une astuce très simple: malgré la présence de grands nombres, il est simple à résoudre par une simple identité remarquable, c'est pour cette raison qu'il ressemble au colosse aux pieds d'argile de la mythologie grecque.

Je suis tout à fait d'accord avec vous, M. Elidrissi, mais j'aimerai attendre la confirmation de M. BIANCO_VERDE.

si c est un carréparfait il devrait etre egal a 1, 4, 5,6,9 ou 0 modulo 10 , comme il est egal a 2 modulo 10 il ne peut pas etre un carré parfait....
sauf erreur

s'il ya une erreur dans mon raisonnement je vous prie de me la signaler

Pour l'exercice 7, et sauf erreur, le polynôme minimal qui est de degré 3, obtenu par la méthode d'interpolation Lagrangienne est: P(x) = 1/180 x^3 - 1927/180 x^2 + 32/15 x +7/5 .

Si c'est pas trop demandé, j'aimerai avoir une confirmation.

Merci.

p(1)=1/180 + 1927/180 + 32/15 + 7/5 =12,24444....

A l'attention de M. Elidrissi, et pour voir si je n'ai pas commis de fautes, j'édite ma solution en lui demandant de la corriger si nécessaire: j'attendrai bien sur une confirmation ou une infirmation de votre part, ou de la part de M. BIANCO_VERDE.

Merci.

c'est correct, du coup il s ecrit sous la forme de 2 carrés parfaits, et n'est pas un carré parfait
votre ennoncé etait donc erronné ^^

Vous avez raison, il fallait écrire "sous forme de deux carrés parfaits".
Je m'excuse pour le dérangement que cette erreur dans l'enoncé a causé.

En ce qui concerne toujours, l'exercice n° 7, jaimerai ajouter que les polynômes de Lagrange que j'ai trouvés sont:
L0(x) = -1/15 (x^3 -12 x^2 + 44 x - 48)
L1(x) =  1/8   (x^3 -11 x^2 + 34 x - 24)
L2(x) = -1/12 (x^3 - 9  x^2 + 20 x - 12)
L3(x) =  1/5   (x^3 -7  x^2  + 14 x - 8)

pas de problemes Mr.aymanemaysae .
le polynome est donc correct ^^
a vous de poster

Pour mettre fin au "Silence" qui règne, je propose ce problème:

Desolé pour le retard mr aymanemaysae .. quant a  l exercice des polynômes c est le fait qu aucune indication sur le degre  n a été donnée qui me laisse bloqué...
Et pour l exercice que vs avez poster je doute qu'il soit du niveau du tronc commun. Donc je vous prie de poser un exercice du genre qui peut poser des problèmes lors de l' épreuve ( qu'on passera le vendred incha Allah)

Pour le plaisir, et sans vouloir semer la désordre dans cette page: c'est seulement parce que j'ai bien aimé l'exercice que M. Elidirissi avait proposé:

EXERCCE 11

montrer que pour tout a b et c strictement positifs, on a 
PGCD(a,b,c)^2/(PGCD(a,b).PGCD(a,c).PGCD(b,c))= PPCM(a,b,c)^2/(PPCM(a,b).(PPCM(a,c).PPCM(b,c))

Je veux seulement votre avis sur la démarche que j'ai suivie pour le résoudre, et si M. Elidrissi le veut bien, j'aimerai bien qu' il le corrige et me fasse l'honneur de m'indiquer les erreurs que j'ai commises.

Exercice alternatif à l'exercice sus mentionné sur les sommes:

Soient a, b, c et d des réels tels que a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 4, montrer que :
a^3 + b^3 + c^3 + d^3 =< 8 .

Si quelqu'un veut comparer sa solution de l'exercice sur les sommes, je suis prêt d'être de la partie.

Il s'agit de la premiere ineq dans le livre du grand VASILE CIRTOAJE.
on a sum a^2 =4 donc a^2<4 <--->a<2 DONC a-2 <0 d'ou a^2 (a-2)<0 <--->a^3 <2a^2 de la mm facon b^3 <2b^3 :et c^3<2c^2 ET d^3 <2d^2
En sommant : on trouve a^3 +b^3+c^3+d^3 <2(a^2+b^2+c^2+d^2)=8
D'ou le resultat voulu
JE TIENS A VOUS REMERCIER POUR LES EXERCICES ASTUCIEUX QUE VOUS POSTEZ