Préparation aux olympiades.

Priere de numeroter les exos  
EXO 14:
Ecrire sous forme de 3 carres
S=(a^2+b^2+2ab+a+b+1)^2

Ex 14:
S=(a^2+b^2+2ab+a+b+1)^2 = ((a+b)^2 + (a+b) + 1)^2 
= (a+b)^4 + (a+b)^2 + 1 + 2(a+b)^3 + 2(a+b)^2 + 2(a+b) 
= ((a+b)^4 + 2(a+b)^3 + (a+b)^2) + ((a+b)^2 + 2(a+b) + 1) + (a+b)^2 
= (a+b)^2 (a+b+1)^2 + (a+b+1)^2 + (a+b)^2  

a vous de poser
essayons de faire bien et vite

M. Elidrissi, je m'excuse du retard: 
Ex 15: calculer cette limite de deux manières:

.

Ouf le calcul de cette limite était très éprouvant, si ce n'est pas moi qui est allé trop loin ^^

Sauf Erreur

.

En effet voici une autre méthode calculatoire qui mène au même résultat.

Et pour Votre autre méthode que vous désirez Mr.aymanemaysae, serait-ce l'une de ces deux idées suivantes (si elles sont correctes biensûr):

Sauf Erreur.

Bien vu M. Legend_Crush et Bravo, j'édite ma proposition et je vous passe le relai:


Je vous invite aussi à jeter un coup d'oeil sur une équation fonctionnelle proposée par M. Mat9aich sur la page ayant comme titre "défi": je n'arrive pas à achever ma proposition de solution.

Merci.

Mr. Legend-crush a vous de poster un exercice !!!

Je réecris l'exo 9 qui parraissait pas et qui est très intéressant
Exercice 9
Soit n>=1 un entier. Montrer que:

Quand-est-ce qu'on a l'égalité ?
Enjoy

Selon Am.Gm
(n!)^(1/n)=<(n+n-1+n-2+.....+2+1)/n =1
Donc 2(n!)^(1/n)=< 2 et on a n>=1 donc n+1>=2
Donc n+1>=2(n!)^(1/n)
J'espère que ma solution est lisible ^^

on par AM-GM 1*2*3...*n=< ((1+2+3+...+n)/n)^n et puisque 1+2+...+n=n(n+1)/2 et 1*2*...*n=n! on peut arriver au résultat facilement

bianco verde a écrit:

Selon Am.Gm
(n!)^(1/n)=<(n+n-1+n-2+.....+2+1)/n =1 c'est pas (n+1)/2 ?
J'espère que ma solution est  lisible ^^

Que l'un de vous poste un exercice alors

Exo 16
Determiner tout les couples entiers (x,y) qui vérifient
(x + 1)^4 −(x−1)^4 = y^3.

Exercice 16:
Montrez que :
n^4-1 est divisible par 16 pour tout n impair.
c assez faciile :p

solution exercice 16
n=2k+1
n^4-1=(2k+1)^4-1=((2k+1)^2-1)((2k+1)+1)=4k(k+1)[4k(k+1)+2]=16k^2*(k+1)^2+8k(k+1)
k(k+1) est pair alors 8k(k+1)=16k' d'où le résultat

Exo 16 de M. Zouhair_Evariste :

On a : (x+1)^4 - (x-1)^4 = ((x+1)^2-(x-1)^2) ((x+1)^2+(x-1)^2) 
= ((x+1-x+1) (x+1+x-1)) (x^2 +2x + 1 + x^2 -2x + 1) = (2) (2x) ( 2 x^2 + 2)
= 8 x (x^2 + 1) = 2^3 x (x^2 + 1)= y^3 , ceci démontre que y est pair, donc:
x (x^2 + 1) = (y/2)^3, et comme x et (x^2 + 1) sont premiers entre eux, donc x et (x^2 + 1) sont des cubes parfaits, donc il existe a et b des entiers naturels tels que x = a^3 et x^2 + 1 = b^3, donc x = a^3 et a^6 + 1 = b^3 <--> x = a^3 et (a^2)^3 + 1 = b^3 : cette deuxième équation n'admet par le "Grand théorème de Wiles-Fermat" qu'une solution triviale : a = 0 et b = 1, donc l'équation initiale admet pour unique solution : x = 0 et y = 1.

Merci M. Zouhair_Evariste pour cette équation qui nous a permis d'utiliser le fameux "Grand Théorème de wiles-Fermat".

j'espère que les grands Maîtres ci-présents, me réconfortent dans la démarche que j'ai suivie, et corrigent ma démonstration s'ils y trouvent des erreurs.

Merci à tous.

.

Exo 17 :

Trouver tous les quaduplets (x; y; z;w) d'entiers relatifs qui satisfont le système d'équations suivant:
x + y + z + w = xy + yz + zx + w^2 - w = xyz - w^3 = -1

aymanemaysae a écrit:

Exo 16 de M. Zouhair_Evariste :

On a : (x+1)^4 - (x-1)^4 = ((x+1)^2-(x-1)^2) ((x+1)^2+(x-1)^2) 
= ((x+1-x+1) (x+1+x-1)) (x^2 +2x + 1 + x^2 -2x + 1) = (2) (2x) ( 2 x^2 + 2)
= 8 x (x^2 + 1) = 2^3 x (x^2 + 1)= y^3 , ceci démontre que y est pair, donc:
x (x^2 + 1) = (y/2)^3, et comme x et (x^2 + 1) sont premiers entre eux, donc x et (x^2 + 1) sont des cubes parfaits, donc il existe a et b des entiers naturels tels que x = a^3 et x^2 + 1 = b^3, donc x = a^3 et a^6 + 1 = b^3 <--> x = a^3 et (a^2)^3 + 1 = b^3 : cette deuxième équation n'admet par le "Grand théorème de Wiles-Fermat" qu'une solution triviale : a = 0 et b = 1, donc l'équation initiale admet pour unique solution : x = 0 et y = 1.

Merci M. Zouhair_Evariste pour cette équation qui nous a permis d'utiliser le fameux "Grand Théorème de wiles-Fermat".

j'espère que les grands Maîtres ci-présents, me réconfortent dans la démarche que j'ai suivie, et corrigent ma démonstration s'ils y trouvent des erreurs.

Merci à tous.

jolie comme solution   

aymanemaysae a écrit:

Exo 17 :

Trouver tous les quaduplets (x; y; z;w) d'entiers relatifs qui satisfont le système d'équations suivant:
x + y + z + w = xy + yz + zx + w^2 - w = xyz - w^3 = -1

J'ai trouvé comme solutions (1;1;-2;-1) (1;-2;1;-1) (-2;1;1;-1) . Ma solution n'est pas belle donc je préfère ne pas la poster mtn, Mais je peux dire que je me suis basé sur un polynôme de degré 3...

.

Exo 18 : P(x) = ax^5 + bx^4 + 1 trouver la valeur de a et b tel que : P(x) = (x-1)^2 Q(x)   et Q(x) à trouver.

J'ai dit : a écrit:

1 est une racine (double ) de P donc P(1)=0 => a+b+1=0=> b=-1-a
==> P(x)=ax^5-(a+1)x^4+1=ax^4(x-1)-(x-1)=(x-1)(ax^4-1)
==> de plus P(x) = (x-1)² Q(x) => (ax^4-1)=(x-1)Q(x) => le polynome R(x)=ax^4-1 admet pour racine 1
==> a-1=0 => a=1 (=> b=-2)
Alors P(x)=x^5-2x^4+1=(x-1)²(x^3+x²+x+1) et de ce fait Q(x)=x^3+x²+x+1
Sauf Erreur

Mr. Aymanemaysae a dit: a écrit:

Une petite remarque à propos de l'exercice 18: les exercices les plus faciles, sont les exercices les plus sujets à l'erreur. j'ai refait cet exercice plus de cinq fois à cause d'une erreur de multiplication de deux petits nombres entiers naturels dans la dernière ligne.

En effet j'ai fait un grande erreur même flagrante... dans la deuxième ligne   
je vais la corriger sur le champs :
P(x)=ax^5-(a+1)x^4+1=ax^4(x-1)-(x-1)(x^3+x²+x+1)
=(x-1)(ax^4-x^3-x²-x-1)
==> de plus P(x) = (x-1)² Q(x) => (ax^4-x^3-x²-x-1)=(x-1)Q(x) => le polynome R(x)=ax^4-x^3-x²-x-1 admet pour racine 1
alors a=4 => b=-5 ...