Préparation aux olympiades.

Exercice 19:
soit n un entier naturel non nul. Montrer l'inégalité, et déterminer le cas d'égalitéééé

le dernier exo est pour TC?

Pour l'exercice 18, puisque P(x) = (x - 1)^2 Q(x), donc P(x) est divisible par (x - 1)^2, donc par (x^2 - 2x + 1).
Par la division Euclidienne on obtient que:
P(x) = a x^5 + b x^4 + 1 
      = (x^2 - 2x + 1) (a x^3 + (b + 2a) x^2 + (2b + 3a) x + (3b + 4a)) + ((4b + 5a) x - (3b + 4a -1))

et comme P(x) est divisible par (x^2 - 2x + 1), donc (4b + 5a) x - (3b + 4a -1) = 0, donc on obtient le système suivant: (4b + 5a = 0) et (3b + 4a -1 = 0) <--> (4b + 5a = 0) et (3b + 4a = 1)
<--> (12 b + 15 a = 0) et (12 b + 16 a = 4) <--> a = 4 et b = -5
ceci nous donne aussi que Q(x) = 4 x^3 + 3 x^2 + 2 x + 1.

Vérification: (4 x^3 + 3 x^2 + 2 x + 1) * (x^2 - 2x + 1) = 4 x^5 -5 x^4 + 1 .

Pour l'exercice 17, veuillez excuser mon "Silence Radio": j'étais dans une où la technologie numérique est rare.

En ce qui concerne la solution de l'exercice: Bravo M. Legeng_Crush, votre solution est juste, et pour le plaisir voici deux solutions tirées d'un site mathématique:


Une petite remarque à propos de l'exercice 18: les exercices les plus faciles, sont les exercices les plus sujets à l'erreur. j'ai refait cet exercice plus de cinq fois à cause d'une erreur de multiplication de deux petits nombres entiers naturels dans la dernière ligne.

J'ai édité ma solution, il yavait une erreur

Solution de l'exo 19
BISMILLAH AVANT DE COMMENCER JE SIGNALE QUE Sum n designe 1+2+3+.......+n
on a 2n+1/3>=(n+1)/2=n(n+1)/2n=(sum n) /n
selon l'IAG ( sum n)/n>=(n!)^1/n
Donc (2n+1)/3>=(n!)^1/n (resultat1)
__ et on a selon l'IAG (sum n)/n>=(n!)^1/n(resultat
2)
En multipliant les deux resultats on trouve
[(2n+1)sum n]/3n>=(n!)^2/n
on sait que sum n=n(n+1)/2
Donc (2n+1)(n+1)/6>=(n!)^2/n D'ou le resultat voulu ; vu que (2n+1)(n+1)/6 = n^2/3 + n/2 +1/6

J'ESPeRE QUE MA REPONSE EST Juste

bianco verde a écrit:

Solution de l'exo 19
BISMILLAH     AVANT DE COMMENCER  JE SIGNALE QUE Sum n designe    1+2+3+.......+n
on a 2n+1/3>=(n+1)/2=n(n+1)/2n=(sum n) /n
selon l'IAG        ( sum n)/n>=(n!)^1/n
Donc (2n+1)/3>=(n!)^1/n (resultat1)
__ et on a selon l'IAG (sum n)/n>=(n!)^1/n(resultat
2)
En multipliant les deux resultats on trouve
[(2n+1)sum n]/3n>=(n!)^2/n
on sait que sum n=n(n+1)/2
Donc   (2n+1)(n+1)/6>=(n!)^2/n   D'ou le resultat voulu ; vu que (2n+1)(n+1)/6 = n^2/3 + n/2 +1/6

J'ESPeRE QUE MA REPONSE EST Juste

Je crois que c'est correct mais l'autre méthode plus facile est que
n²/3 + n/2 +1/6=n(2n+1)(n+1)/6n=(1²+2²+...+n²)/n>=(n!²)^(1/n)=(n!)^(2/n)
A vous de poster un exercice

EXERCICE 20 :
a b et c des reels positifs ;; montrez que
c/a + a/(b+c) + b/c >= 2 .

c²/ac + a²/(ab+ac) +b²/bc >= (a+b+c)²/(ab+bc+2ac)
il suffit de montrer que
(a+b+c)²/(ab+bc+2ac) >=2
ou encore que a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc>=2ab+4ac+2bc
ce qui equivaut a :  a²+b²+c²>=2ac ce qui est vrai par AM-GM
legalitee est quand b=0 et a=c

sauf erreur

UNE AUTRE SOLUTION PLUS ELEGANTE A MON SENS ^^
c/a + a/(b+c) +b/c >= 2 <----> c/a + a/(b+c) +(b+c)/c >= 3 ( en ajoutant 1 )
Ce qui est trivial par l IAG ^_^
Elidrissi a vous de poster

a b c et d sont des naturels non nuls tel que ab=cd
montrer que a²+b²+c²+d² n est pas premier

c est juste. a toi

Exercice 22:
Résoudre dans Z² l'équation diophantienne:
x+y²=y^3

Exo 22:
C'est x+y²=y^3  ou bien x + y^2 = z^3 ?

aymanemaysae a écrit:

Exo 22:
C'est x+y²=y^3  ou bien x + y^2 = z^3 ?

c'est x+y²=y^3 , je crois que vous pouvez le résoudre facilement

Exo 22:

Pour x et y des entiers relatifs, on a:
x + y^2 = y^3 <--> x = y^3 - y^2 = y^2 (y - 1).

Donc l'ensemble des solutions S = {(x= m^2(m - 1);y = m), avec m appartenant à Z}

.

Comme ma solution est la seule jusqu'à présent, et comme M. legend_Crush ne l'a pas infirmée, et pour relancer le débat, je propose un exercice facile mais dont le sujet est rare sur le site: La Partie Entière.

.

aymanemaysae a écrit:

Comme ma solution est la seule jusqu'à présent, et comme M. legend_Crush ne l'a pas infirmée, et pour relancer le débat, je propose un exercice facile mais dont le sujet est rare sur le site: La Partie Entière.

Désolé pour cette équation, qui peut-être était trop évidente, je ne m'en étais pas rendu compte :p
Concernant votre éxercice voici ma solution ( quoique je n'aime pas trop la partie entière :/):

PS: Bianco Verde, je pense que ça s'étudie en Tc, enfin nous on l'a fait.

If a and b are arbitrary positive real numbers and m an integer, prove that:

Exercice 25 :
a ,b ,c et d des reels strictement positifs tels que ab+bc+cd+da=1 ; Montrez que
SUM [a^3/(b+c+d)]>=1/3

[quote="mae24"]


Et tu as oublie de motionner que a et b sont non nuls
[\quote]
Ta solution est bonne, mais je ne pense pas qu'elle prenne en compte le cas où m est négatif :/
ce cas est aussi facile à démontrer, mais on ne peut pas le négliger