Préparation aux olympiades.

Pour Elidrissi je  suppose que le 2 facteur de (2+7+12..(2+5*402) dans la 2 ème ligne est une faute d'inattention
Par contre il me semble que la methode est bonne
L.W.P a toi de poster l exercice suivant :: et merci de poster une reponse pour le 3 ème exo ^_^

elidrissi a écrit:

S=(-1-2-3...-2015)+2(1+2+6+7+11+12...2011+2012)
= - 2015*2016/2 + 2(1+6+11...(1+5*402))+2(2+7+12..(2+5*402))
= - 2015*1008 + 403*2012 + 403*2013
= - 409045
sauf erreur

je pense qu'il y aune faute de passer de la 2eme ligne à la troisième
car
A=2(1+6+11......+(1+5*402))=2(1+(5+1)+(1+5*2)+.....+(1+5*402))=2(402*1+5(1+2+3.....+402))
A=2*402+5*402*403=402(2+5*403)         (2+5*403=/=2012)
B=2(2+7+12+....+(2+5*402))=2(2+(5+2)+(5*2+2).......+(2+5*402))
B=4*402+5*402*403
B=402(4+5*403)             (4+5*403=/=2013)
d'où l'erreur
SAUF ERREUR

L-W-P a écrit:

Bon,je vais poster en prenant le tour de Mr aymanemaysae afin de ne pas perdre de temps. Je propose un exo bien habitué qui a été posé l’année dernière dans une olympiade de TC
exo 3
soient a,b,c des nombres réels.tels que
quelque soit x de [-1,1] on a lax^2+bx+cl=<1
1) prouver que lcl=<1
2) prouver -1=<a+c=<1
3) et déduire a^2+b^2+c^2=<5

SOULTION exo 3
puisque la relation est vraie pour tous x de [-1,1] on va remplacer x=0
ce qui donne le 1) lcl=<1
remplaçant maintenant par x=1 donne   -1=<a+b+c=< 1
                                  x=-1 donne  -1=<a-b+c=< 1
en sommant les deux inégalités on aura   -2=< 2(a+c)=< 2 
simplification d'où le résultat de 2)  la+cl=<1
pour le 3 je la copie de la démo de M.Humber car il n y a rien à éclaircir (c'est la même méthode que j'ai)
|a+b+c| < 1 ==> a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac<1 ==> a²+b²+c²+2b(a+c)+2ac<1 ==> a²+b²+c²-2b-2a<1 ==> a²+b²+c² <2(a+b)+1
Il suffit de montrer que a+b <2
(-1<a+b+c < 1 avec -1<-c<1) ==> |a+b|<2

jusqu'à maintenant j'ai pas d'exos à poster quelqu'un qu'il poste.

Merci mais est ce qu'on a le droit de remplacer x par des valeurs differentes (b1 sur tant qu'ils sont entre 1 et -1) ???

bianco verde a écrit:

Merci mais est ce qu'on a le droit de remplacer x par des valeurs differentes (b1 sur tant qu'ils sont entre 1 et -1) ???

bien sur que oui car la relation est valable pour tous x de cet intervalle, or tu dois choisir les valeurs qui sont utiles dans l'exo.

la réponse à l'exercice 6 est : - 408 642 .
Je donnerai la solution dans cinq minutes, Incha Allah.

Ok merci !
J'ajoute un autre pour accelerer le jeu .
EXO.7 TROUVER TOUS LES POLYNOMES TELS QUE
P(1)=2 ; P(2)=4 ; P(4)=7 ; P(6)=8 .

Résolution de l'exercice n°6.

aymanemaysae a écrit:

Résolution de l'exercice n°6.

L-W-P a écrit:

Autre Méthode  exo 6
S=(1+2-3-4-5+6+7-8-9-10.......+2011+2012-2013-2014-2015)
2(+) est suivie par 3 (-)
alors S=-9-14-19-......-2019
d’où
S=-9-(9-5*1)-9-(5*2)........-9*(5*402)
S=-9*403-5(1+2+3.....+402)
S=-9*403-5(402*403)/2
sauf erreur

Même résultat.

L-W-P a écrit:

elidrissi a écrit:

S=(-1-2-3...-2015)+2(1+2+6+7+11+12...2011+2012)
= - 2015*2016/2 + 2(1+6+11...(1+5*402))+2(2+7+12..(2+5*402))
= - 2015*1008 + 403*2012 + 403*2013
= - 409045
sauf erreur

je pense qu'il y aune faute de passer de la 2eme ligne à la troisième
car
A=2(1+6+11......+(1+5*402))=2(1+(5+1)+(1+5*2)+.....+(1+5*402))=2(402*1+5(1+2+3.....+402))
A=2*402+5*402*403=402(2+5*403)         (2+5*403=/=2012)
B=2(2+7+12+....+(2+5*402))=2(2+(5+2)+(5*2+2).......+(2+5*402))
B=4*402+5*402*403
B=402(4+5*403)             (4+5*403=/=2013)
d'où l'erreur
SAUF ERREUR

je ne crois pas que l erreure soit ici, parceque 403+5*403*402/2 =2012*403/2 et 4*403+5*402*403 =403*2014
je crois que lerreur est dans 403*2013 qui devrait etre 403*2014
(sauf erreur)

Edit : en remplacant 2013 par 2014 ca donne la bonne reponse

M. L_W_P, votre réponse à l'exercice 6 est juste et astucieuse: elle m' a rassuré en ce qui concerne ma réponse.

Bon, l'exo des polynômes est tjr en cours
J'ajoute un autre :
EXO 8 :
Soit a b c et des reels positifs t.q a+b+c+d=1
MONTREZ QUE
a^2/(b+c+d) + b^2/(a+c+d) + c^2/(a+b+d) + d^2/(a+b+c) >= 1/3

Solution Exo 8

Exercice 9
Soit n>=1 un entier. Montrer que:

Quand-est-ce qu'on a l'égalité ?
Enjoy

Exercice 9

Trouver Pgcd(12n+1,30n+2) et Pgcd(2^100-1,2^120-1).

La première 5(12n+1)-2(30n+2)=1 => selon Bezout Pgcd(12n+1,30n+2)=1

La deuxième en utilisant le truc d'Euclide:
Pgcd(2^120-1;2^100-1)=Pgcd(2^100-1,2^20-1)=Pgcd(2^20-1,2^5-1)=Pgcd(2^5-1,2^4-1)
=Pgcd(2^4-1,1)=1
Sauf Erreur

Oui le théorème de bezout est assez connu mais ....j n ai jamais entendu parler de ce théorème d'EUCLIDE

jai trouvé un autre resultat pour le 2 :
PGCD(a,b)=PGCD(a,b-a)
PGCD(2^120 -1;2^100 -1)=PGCD(2^20 -1;2^100 -1)=PGCD(2^20 -1;2^80 -1)=PGCD(2^20 -1;2^60 -1)=PGCD(2^20 -1;2^40 -1 =PGCD(2^20 -1;2^20 (2^20-1)) =2^20 -1
sauf erreur ^^

elidrissi a écrit:

jai trouvé un autre resultat pour le 2 :
PGCD(a,b)=PGCD(a,b-a)
PGCD(2^120 -1;2^100 -1)=PGCD(2^20 -1;2^100 -1)=PGCD(2^20 -1;2^80 -1)=PGCD(2^20 -1;2^60 -1)=PGCD(2^20 -1;2^40 -1 =PGCD(2^20 -1;2^20 (2^20-1)) =2^20 -1
sauf erreur ^^

Ah Oui, j'avais commis une grave erreur dans le passage Pgcd(2^100-1,2^20-1)=Pgcd(2^20-1,2^5-1)
Ca devait être Pgcd(2^100-1,2^20-1)=Pgcd(2^20-1,2^80-1) Donc ta solution est la correcte (y)

Desoler l exercice precedent etait l ex10 donc a vous de poster le 11 ^^

EXERCCE 11

montrer que pour tout a b et c strictement positifs, on a
PGCD(a,b,c)^2/(PGCD(a,b).PGCD(a,c).PGCD(b,c))= PPCM(a,b,c)^2/(PPCM(a,b).(PPCM(a,c).PPCM(b,c))

Niveau tc -_-

ok dsl
montrer que (21n+4)/(14n+3) est toujours irreductible pour n de N (exemple 6/4 egale 3/2 , mais 7/4 ne peut pas se simplifier, donc 7/4 est une fraction irreductible)