Inégalité 4

Soient m, n deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2 et soient x, y deux réels tels que 0<x<1 et y=1-x. Montrer :

(1-x^m)^n+(1-y^n)^m>1

Bonjour
soit f(x)=(1-x^m)^n+(1-(1-x)^n)^m pour x dans [0,1]
f(0)= 2 et f(1)=1 . Pour montrer que f(x)>=1 dans [0,1] il suffit de montrer que f est décroissante dans cet intervalle.
f'(x)= -mnx^(m-1)(1-x^m)^(n-1)+mn(1-x)^(n-1)(1-(1-x)^n)^(m-1) <0

ssi ( (1-(1-x)^n )/x)^(m-1)<((1-x^m)/(1-x))^(n-1)
ou encore en développant
(1-x+..+n(-x)^(m-1))^(n-1) < (1+x+..+x^(n-1))^(m-1)

AA+

abdelbaki.attioui a écrit:

Bonjour

...

(1-x+..+n(-x)^(m-1))^(n-1) < (1+x+..+x^(n-1))^(m-1)

AA+

Et pourquoi est-ce que cette inégalité est vraie?