Les complexes, une gde histoire d'amour...

alors voila, j'ai un devoir maison à faire pour la rentrée et depuis 2 jours je peine sur cet exercice :

Pouvez vous m'aider svp ? merci d'avance...

c pas tres bien de tricher.
je vais noter x au lieu de alpha.
Pour la premiere question t'as qu'a remarquer que :
1+x+x^2+x^3+x^4 = (x^5 - 1)/(x-1) , x etant different de 1.
or x^5 = 1 donc 1+x+x^2+x^3+x^4 = 0.
tu sais donc que A + B = -1
en plus AB = A+B (simple calcul)
donc AB = -1

C/C : A et B sont les solutions de l'equation E

2) A = x + x^4 = x + x ^-1 = e^i2pi/5 + e^-i2pi/5 = 2 cos(2pi/5).

3) les deux solutions de l'equation sont (-1-racine(5))/2 < 0
et (-1 + racine(5))/2 > 0, or A > 0 donc A = (-1 + racine(5))/2 d'ou
cos(2pi/5) = (-1 + racine(5))/4

moi ? tricher ? mais non ! Mais j'en ai marre de bucher sur le même exercice pendant deux jours donc forcément je craque !
merci beaucoup de ton aide, c'est sympa !

Il ya quelques petites choses que je ne comprends pas :
comment sais tu que x^4 +x = x+x^-1 ???
et pourquoi dis tu que AB = -1 ? je ne vois pas trop ce que ça nous apporte pour trouver les solutions ( d'ailleurs je ne sais même pas comment tu es passé de A+B=-1 à AB = -1 )

slt a tout le monde
car A+B=AB =-1
c un grand classique exo dns les complexes

x^5 = 1 donc x * x^4 = 1 d'ou x^-1 = x^4, je rappele que x^-1 est le nombre qui, multiplié par x donne 1, on sait qu'il en existe qu'un (revoir le cours des groupes) donc dans notre cas c x^4.
C/C : x^4 + x = x^-1 + x = x + x^-1 (la somme est commutative )

pour AB = -1, on a AB = (x + x^4)(x^2+x^3) = (x^3 + x^4 + x^6 + x^7)
donc AB = x^3 + x^4 + x^5*x + x^5*x^2, or x^5 = 1, donc
AB = x + x^2 + x^3 + x^4 = A + B = -1 (regarde la preuve)

pour les solutions des equations si tu revise ton cours de deuxieme (tronc commun) tu vas trouer que si x1 et x2 sont les racines du trinomes
ax^2 + bx + c, avec a != 0, alors x1*x2 = c/a, et x1 + x2 = -b/a
donc x1 et x2 sont les solutions de l'equation x^2 - (x1 + x2)x + x1*x2 = 0
(tu divise le trinome par a), si on applique ca pour A et B, on a donc :
A et B sont les solutions de l'equation x^2 - (A + B)x + AB = 0
C/C : A et B sont les solutions de (E) : x^2 + x - 1 = 0.
PS : le but c de donner les idées slmt, je pense que tu peux quand meme faire les calculs tous seul, avant de demander de l'aide il faut au mois essayer.

mais j'ai déjà essayé à plusieurs reprises mais merci quand de votre aide surtout la tienne cherif119

Salam

(alpha different de 1 biensur)

d'ou

On note et les deux solutions de l'equation (E) alors +=-1==A+B
alors A et B sont solutions de l'equation (E)

on a

or