inégo

soient x y et z des reels positives tq: x²+y²+z²+2xyz=1
M.Q: 2(x+y+z) inf= à 3

l'exo est :

mrç

posons A=a²+b²+c² ; B=ab+bc+ca ; t=a+b+c ;
d'apres shur on a donc car t>=3r
donc
fin . c'est ma propre demonstration

x , y et z sont solutions de l'équation du second degré
x=-yz+V(1-y²)(1-z²)
y=-xz+V(1-x²)(1-z²)
z=-xy+V(1-x²)(1-y²)

==> x+y+z=<-yz-xz-xy+V(1-y²)(1-z²) +V(1-x²)(1-z²)+V(1-x²)(1-y²)
=< 3-(x²+y²+z²)-(xy+xz+yz) par CS
= 3-(x²+y²+z²) -(x+y+z)²/2+(x²+y²+z²)/2
= 3-(x²+y²+z²)/2-(x+y+z)²/2
=<3-(x+y+z)²/6-(x+y+z)²/2 car (x+y+z)²=<3(x²+y²+z²) par CS
=<3-2(x+y+z)²/3

==> 2(x+y+z)²/3+(x+y+z)=<3
==> ( (x+y+z)-3/2)( 2(x+y+z)/3 +2)=<0

==> (x+y+z)-3/2=<0

substitions : x=cos(A) , y=cos(B) , z=cos(C) donne une inégalité trés connue avec A , B ,C les angles d'un triangle

Oty a écrit:

substitions : x=cos(A) , y=cos(B) , z=cos(C) donne une inégalité trés connue avec A , B ,C les angles d'un triangle

joli solution khay oty (y)

Merci beaucoup Khay Killua

il ya aussi une autre methode avec les substitions et et
puis

younesmath2012 a écrit:

il ya aussi une autre methode avec les substitions et et
puis

joli substitution youneess . ..

EX 2 :

soient a,b,c des reels positives M.Q: \sum \frac{a}{(b+c)²} \geq \frac{9}{4(a+b+c)}

l'exo est :
soient a,b,c des reels positives M.Q:

younesmath2012 a écrit:

l'exo est :
soient a,b,c des reels positives M.Q:

a/(b+c)²+b/(a+c)²+c/(a+b)²>= ( c/(a+b)+b/(a+c)+a/(b+c))²/(a+b+c) par convexité de t----> t² ou par CS

Il est bien connu que c/(a+b)+b/(a+c)+a/(b+c)>=3/2

younesmath2012 a écrit:

posons A=a²+b²+c² ; B=ab+bc+ca ; t=a+b+c ;
d'apres shur on a donc car t>=3r
donc
fin . c'est ma propre demonstration

Bravo Mr Younes , Tbarkellah 3like belle solution

lah ibarek fik nta kadir hsane men had la9atate lah iwaffa9

AMINE Merci , ALLAH y waffa9na jmi3e