Petit exos

Montrez :


pour tout A appartenant à ]1,+oo[ , il existe t appa. [0,1/2pi[

A<cos²t+(1/cos²t) -1

Salut, le x ne figure pas dans l'énoncé.

C'est édité

"t appa. [0,(1/2)pi[" pour ne pas mal comprendre l'énoncé ..

indication:

lim [t -> pi/2] ( cos²t+(1/cos²t) -1 ) = +oo

Merci hypermb pour votre indication . Moi , je n'ai pas utilisé les limites , mais j'ai cherché à trouver ce t et donc résoudre l'inéquation . Pour les limites , je pense -d'après ce que j'ai compris - qu'on va utiliser la définition d'une limite mais je comprend pas comment elle va démontrer ce qu'on veut !!

ci-dessous je le détaille tellement pour bien comprendre

on pose f(t) = cos²t+(1/cos²t) -1
on a: lim [t -> pi/2 (à gauche)] f(t) = +oo
<-> Pour tout A>0 il existe eps>0 tel que pour tout t vérifiant 0<pi/2-t<eps, on a f(t)>A
Ce qui précède est valable pour tout A>0, particulièrement vrai pour tout A>1
-> Pour tout A>1 il existe eps>0 tel que pour tout t vérifiant pi/2-eps<t<pi/2, on a f(t)>A (*)

deux cas possibles:
1) si le eps est tel que: pi/2-eps >= 0
(*) -> Pour tout A>1 il existe eps>0 tel que pour tout t vérifiant 0 <= pi/2-eps < t < pi/2 , on a f(t)>A
-> Pour tout A>1 il existe eps>0 , pour tout t de ]pi/2-eps,pi/2[, on a f(t)>A
-> Pour tout A>1 il existe eps>0 , il existe un t de ]pi/2-eps,pi/2[, tel que f(t)>A
-> Pour tout A>1 il existe eps>0 , il existe un t de [0,pi/2[, tel que f(t)>A (car ]pi/2-eps,pi/2[ est inclus dans [0,pi/2[)
-> Pour tout A>1 il existe un t de [0,pi/2[ tel que f(t)>A .. d'où le résultat

2) si le eps est tel que: pi/2-eps < 0
(*) -> Pour tout A>1 il existe eps>0 , pour tout t vérifiant ( (pi/2-eps<t<0) ou (0<=t<pi/2) ), on a f(t)>A
Là encore, c'est valable pour tout t de l'un des intervalles ]pi/2-eps,0[ ou [0,pi/2[, c'est alors valable particulièrement pour t de [0,pi/2[
-> Pour tout A>1 il existe eps>0 , pour tout t de [0,pi/2[, on a f(t)>A
-> Pour tout A>1 il existe un t de [0,pi/2[ tel que f(t)>A .. d'où le résultat

cordialement

Merci hypermb , c'est gentil de ta part .