Inégalité 5

Soient a, b et c des nombres réels strictement positifs. Montrer l'inégalité suivante:

1/(abc) >= 1/(a^3+b^3+abc) + 1/(a^3+c^3+abc) + 1/(b^3+c^3+abc) >= 3/(a^3+b^3+c^3)

on sai que a^3+b^3>=ab(a+b) par suite a^3+b^3+abc>=ab(a+b+c)
on inverse et on somme les trois inégalités on obtien:
1/(a^3+b^3+abc) + 1/(a^3+c^3+abc) + 1/(b^3+c^3+abc) <=1/abc
pour la deuxieme partie:
d aprés l ingalité de jensen appliqué sur la fonction convexe f(x)= 1/x
on a :
segma f(a^3+c^3+abc) >3f(2/3(a^3+b^3+c^3)+abc)
>3f(2/3(a^3+b^3+c^3)+1/3(a^3+b^3+c^3))
>3f(a^3+b^3+c^3)=3/(a^3+b^3+c^3)
conclusion:

1/(abc) >= 1/(a^3+b^3+abc) + 1/(a^3+c^3+abc) + 1/(b^3+c^3+abc) >= 3/(a^3+b^3+c^3)

bel_jad5 a écrit:

on sai que a^3+b^3>=ab(a+b) par suite a^3+b^3+abc>=ab(a+b+c)
on inverse et on somme les trois inégalités on obtien:
1/(a^3+b^3+abc) + 1/(a^3+c^3+abc) + 1/(b^3+c^3+abc) <=1/abc
pour la deuxieme partie:
d aprés l ingalité de jensen appliqué sur la fonction convexe f(x)= 1/x
on a :
segma f(a^3+c^3+abc) >3f(2/3(a^3+b^3+c^3)+abc)
>3f(2/3(a^3+b^3+c^3)+1/3(a^3+b^3+c^3))
>3f(a^3+b^3+c^3)=3/(a^3+b^3+c^3)
conclusion:

1/(abc) >= 1/(a^3+b^3+abc) + 1/(a^3+c^3+abc) + 1/(b^3+c^3+abc) >= 3/(a^3+b^3+c^3)