Au plaisir 2

Sujet: Au plaisir 2 Lun 01 Oct 2012, 20:39

Vu que c'est le début de l'année scolaire j'ai décidé de créer un nouveau topic dans ce dérnier chacun va résoudre un problèmes puis poster une question , des topics pareils ont été déja crée mais pourquoi pas en refaire de nouveaux je commence en posant ma question:

a, b et c sont des longueurs d'un triangle:
démontrez que a+b+c=1 => a²+b²+c²<1/2

après que quelqu'un poste sa réponses il faut qu'il pose une autre puis ça continue comme ça

Sujet: Re: Au plaisir 2 Mar 02 Oct 2012, 20:59

$Au plaisir 2 Gif$

D'où: $Au plaisir 2 Gif$

Donc : $Au plaisir 2 Gif$

Et en additionnant a²+b²+c² des deux côtés on obtient :

$Au plaisir 2 Gif$

D'où le résultat.

Sujet: Re: Au plaisir 2 Ven 05 Oct 2012, 09:39

oui c'est la bonne réponse mais tu as oublié de poster ton exercice soukaina

Sujet: Re: Au plaisir 2 Ven 05 Oct 2012, 20:06

Montrer que si ab+bc+ac=1 alors : $Au plaisir 2 Gif$

Sujet: Re: Au plaisir 2 Sam 06 Oct 2012, 15:48

Top-Math a écrit:: Montrer que si ab+bc+ac=1 alors : $Au plaisir 2 Gif$

Solution :

Spoiler:

Sujet: Re: Au plaisir 2 Sam 13 Oct 2012, 20:49

sammado a écrit:: oui c'est la bonne réponse mais tu as oublié de poster ton exercice soukaina

Ah ouais désolée.

Bah voilà un exo pas trop compliqué:
Soit $Au plaisir 2 Gif$ une soluto=ion à l'equation $Au plaisir 2 Gif$ avec : $Au plaisir 2 Gif$

Prouvez que : $Au plaisir 2 Gif$

Petit indice:

Spoiler:

Sujet: Re: Au plaisir 2 Dim 14 Oct 2012, 00:56

Bonsoir,

On procède par récurrence sur n
supposant que $Au plaisir 2 Gif$ on prouve que $Au plaisir 2 Gif$ ce qui est vrai puisque $Au plaisir 2 Gif$ (avec $Au plaisir 2 Gif$ )

Problème 4 :
Montrer que $Au plaisir 2 Gif$

Bonne chance

Sujet: Re: Au plaisir 2 Dim 14 Oct 2012, 11:28

Solution du problème 4:

On a n appartient à IN , donc: $Au plaisir 2 Gif$ $Au plaisir 2 K\in&space;\mathbb{N}$

$Au plaisir 2 Gif$

On étudie les cas :
1er cas: n²=9k²
Alors: $Au plaisir 2 Gif$

2ème cas:n²=9k²+6k+1

Donc: $Au plaisir 2 Gif.latex?\frac{n^{2}+1}{3}=\frac{9k^{2}+6k+1+1}{3}=\frac{3(k^{2}+k)+2}{3}=k^{2}+k+\frac{2}{3}$

3ème cas: n²=9k²+12k+4

Et donc: $Au plaisir 2 Gif.latex?\frac{n^{2}+1}{3}=\frac{9k^{2}+12k+4+1}{3}=\frac{3(3k^{2}+4k+1)+2}{3}=(3k^{2}+4k+1)+\frac{2}{3}\notin&space;\mathbb{N}$

Donc : $Au plaisir 2 Gif.latex?\forall&space;n\in&space;\mathbb{N}:\frac{n^{2}+1}{3}\notin&space;\mathbb{N}$

Et je n'ai pas de probleme à proposer pour l'instant.

Sinon, pour la solution de Humber , je pense qu'elle n'est pas assez claire.

Sujet: Re: Au plaisir 2 Mer 17 Oct 2012, 22:36

Humber, ta solution n'est pas claire...

Sujet: Re: Au plaisir 2 Jeu 18 Oct 2012, 00:01

Qu'est ce qui n'est pas clair au juste ?

Sujet: Re: Au plaisir 2 Jeu 18 Oct 2012, 07:26

La dernière ligne de ta démo'.

Sujet: Re: Au plaisir 2 Sam 20 Oct 2012, 14:00

C'est simple au fait,
On procède en réalité par récurrence d'ordre 2
C'est à dire qu'on suppose que $Au plaisir 2 Gif$ (Si c'est vrai pour n₀ et n₀+1, Ce qui l'est pour nous ici car on a dèja que (pour n=1) $Au plaisir 2 Gif$ et donc pour n=2 $Au plaisir 2 Gif$ ) .Puis enfin on prouve que $Au plaisir 2 Gif$
Ce qui j'ai montré ici :

Humber a écrit:: supposant que $Au plaisir 2 Gif$ on prouve que $Au plaisir 2 Gif$ ce qui est vrai puisque $Au plaisir 2 Gif$ (avec $Au plaisir 2 Gif$ )

Sujet: Re: Au plaisir 2 Sam 20 Oct 2012, 22:49

@Soukaina

Propose ton exercice Smile

(après avoir vu ce que j'ai ajouté bien sûr)

Sujet: Re: Au plaisir 2 Sam 20 Oct 2012, 23:13

Humber a écrit:: @Soukaina

Propose ton exercice (après avoir vu ce que j'ai ajouté bien sûr)

Ta demo devient plus claire maintenant.
Je n'ai pas d'exercice à proposer maintenant . (Vu que je prépare à mes exams d'HISTOIRE GEO .. :p )

Si tu le fais à ma place j'en serai ravie Very Happy

Sujet: Re: Au plaisir 2 Dim 21 Oct 2012, 18:53

Exercice 5:
Soient a et b des réels positives.Montrer par récurrence que :
$Au plaisir 2 Gif$

Sujet: Re: Au plaisir 2 Jeu 25 Oct 2012, 13:07

$Au plaisir 2 Gif$

Avec Caushy Schwartz :
$Au plaisir 2 Gif.latex?2(a^{2n}+b^{2n})\geq(a^n+b^n)^2%20\newline%20\Leftrightarrow2^n(a^{2n}+b^{2n})\geq(a^n+b^n)^2\times2^{n-1}%20\newline%20\text{On%20prouve%20donc%20que}~~(a^n+b^n)^2\times2^{n-1}\geq(a^n+b^n)\times(a+b)^n%20\newline%20\Leftrightarrow(a^n+b^n)\times2^{n-1}\geq(a+b)^n%20~~~~\fbox{1}~~(\text{On%20prend%20}a\neq%200%20\text{~~ou~~}%20b\neq0)%20\newline%20\newline%20\text{Par%20r%C3%A9currence%20sur%20n%20on%20suppose}~~\fbox{1}%20~~\text{et%20on%20prouve%20que%20:}\newline~~(a^{n+1}+b^{n+1})\times2^{n}\geq(a+b)^{n+1}%20\newline%20\\%20\text{On%20a%20:}(a^n+b^n)\times2^{n-1}\geq(a+b)^n%20\\%20\Leftrightarrow%20(a^n+b^n)(a+b)\times2^{n-1}\geq(a+b)^{n+1}%20\\%20\text{Il%20suffit%20donc%20de%20montrer%20que%20:}\\(a^{n+1}+b^{n+1})\times2^n\geq(a^n+b^n)(a+b)\times2^{n-1}%20\\%20\Leftrightarrow%20a^{n+1}+b^{n+1}\geq%20b.a^n+a.b^n%20\\%20\Leftrightarrow%20(a-b)(a^n-b^n)\geq0%20\\%20\Leftrightarrow%20K(a-b)^2\geq0~~\text{Et}~~K=\sum_{i=1}^{n}(a^{n-1}.b^{i-1})%3E0%20\\%20\text{On%20d%C3%A9duit%20le%20r%C3%A9sultat..$

Sujet: Re: Au plaisir 2 Lun 29 Oct 2012, 01:13

Exercice 6 :

Posons A = {1,2,3...n} où n est un entier naturel impair.
x₁ , x₂ .... et x_n sont des éléments de A différents deux à deux.

Prouver que $Au plaisir 2 Gif$

Sujet: Re: Au plaisir 2 Lun 29 Oct 2012, 14:24

Par l'absurde supposant quelque soit k dans A , x_{k}-k est un nombre impair ,
comme n est impaire alors $Au plaisir 2 Gif$ est impair , car il y a un nombre impair de (x_{k}-k) ce nombre est bien ''n '' , or puisque les x_{k} tout des élément de A distincts deux a deux alors A={x_{1},....,x_{n}} et donc
$Au plaisir 2 Gif$
Contradiction !