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On a :

3(x²+y²+z²)>(x+y+z)²>x²+y²+z²
d'où :

5979 > n⁴>1993
On déduit que :

8≥n≥7
Et puisque x²+y²+z² et x+y+z ont la même parité alors n est impaire et donc n=7 .
Le système devient :

Du système on trouve que xy+yz+zx=204
Par symétrie on suppose que x≥y≥z , on a :
3x²≥1993 et x²<1993 d'où
44≥x≥26 .
et on a : 204=xy+yz+zx≥3z² => 8≥z
Aussi on a : xy+yz+zx≥y² => 14≥y
Et : x²=1993-y²-z²≥1993-8²-14² =>x≥42
Encore : 49=x+y+z≥42+2z => 3≥z et 7≥y
Finalement x²=1993-y²-z²≥1993-3²-7² =>x≥45 ( contradiction avec le fait que 44≥x )
Donc pas de solution pour le système ..

L'inégalité est équivalente à :



Posons :

La fonction f est concave sur ]0,pi/2] donc d'après Jensen on a :

Et le résultat en découle ...( égalité ssi a=b=c

considérons la fonction f définie sur I=[-1/2;+oo[ ainsi f(x)=√(2x+1)
f est dérivable sur I\{-1/2} et f''(x) <0 d'où la concavité de f
alors d'après l'inégalité de Jensen : f(a)+f(b)+f(c)=<3 f[(a+b+c)/3]
D'où max A =√33
Sauf erreur biensur

http://latex.codecogs.com/gif.latex?$x=%20\sqrt{2a+1}$%20$%20et%20$%20$%20y=\sqrt{3b+1}$%20$%20et$%20$%20z=\sqrt{4c+1}$.%20\Rightarrow%20a=\frac{x^{2}+1}{2}%20b=\frac{y^{2}-1}{2}%20c=\frac{z^{2}+1}{2}%20\Rightarrow%20$%20A=x+y+z$%20/%20\frac{x^{2}-1}{2}+\frac{y^{2}-1}{3}+\frac{z^{2}-1}{4}=4%20\Rightarrow%20\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{3}+\frac{z^{2}}{4}=\frac{61}{12}%20$%20Par%20C.S.%20on%20a%20$%20(2+3+4)(\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{3}+\frac{z^{2}}{4})\geq%20(x+y+z)^{2}%20\Rightarrow%20\sqrt{9\frac{61}{12}}%20\geq%20x+y+z%20\Rightarrow%20\sqrt{\frac{183}{4}}%20\geq%20x+y+z%20$donc%20la%20valeur%20max%20de%20A%20est%20$%20\sqrt{\frac{183}{4}}.

CQFD
PS: cas d'égalité :a=17/27 ,b=49/36 ,c=217/108 !!

on ne doit pas copier les solution des autres et editer son message apres leur post

@ Sporovitch :
dsl mec mé j'é pas l'habitude de copier les solutions des autres et j'ai rien à faire avec moi j'avais posté une solution avant la tienne sauf que j'é pas fé att et j'é travaillé avec 2a+1 et 2b+1 et 2c+1 quand j'ai fé att j'ai juste changé de num la methode est restée la meme et je t'ai rien dit quand t'as posté ton probleme"8" d'ailleurs moi j'ai posté toute la solution toi à peine le resultat alors stp la prochaine fois pas besoin de repprocher à qlq un klk chose qui touchent sa dignité ou son orgueil

on a (n,m,l,k) € lN^4 tq n>m>l>k donc il existe a, b et c des entiers naturels tq a>b>c verifient k=k et l=k+c et m=k+b et n=k+a.
on a l.m=n.k
<=> (k+c)(k+b) = k(k+a)
<=> k²+ck+bk+cb = k²+ak
<=> k= (bc)/(a-b-c)
on MQ (n_k)²/4 k+2
<=> a²/4 >= (bc)/(a-b-c) +2
en faisant le calcul ça va donner :
<=> a^3 -a²(b+c) -8a +8(b+c) -4bc >= 0
pospns la fonction f tel que f(x) = x^3 -x²(b+c) -8x +8(b+c) -4bc (avec x€lN et x >= 4 même x>=0 ferra l'affaire)
on calcule la dérivé : f'(x) = 3x²-2(b+c)x -8 ; delta = 4(b+c)² + 96 >0
x_1 = ( (b+c) - rac ( (b+c)² - 24) ) /3 strict positif
x_2 = ((b+c) + rac ( (b+c)² - 24) ) /3 strict positif
sur l'intervalle [0, x_1] croissante
sur l'intervalle [x_1, x_2] décroissante
sur l'intervalle [x_2, +l'infini] croissante
avec f(0) > 0 et f(x_2) >0 ( les images" encore un peu de calcul " ) d'où le resultat .