Retour au plaisir :)

Salut

mizmaz : peux tu indiquer la faute ?

Solution probleme 47 :

D'aprés l'ennoncé on a



tel que

c'est facile de verifier que f est croissante sur IR+

alors K est croissante sur R+
[SAUF ERREUR]

Probleme 48 :
Montrer que 4^9 + 6^10 + 3^20 n’est pas premier

just-abdess a écrit:

Probleme 48 :
Montrer que 4^9 + 6^10 + 3^20 n’est pas premier.

On a .
Donc n'est pas premier.

problème49:
Soit ABC un triangle, on pose: AB=c, BC=a, et CA=b.
Soient , , et les longueurs des bissectrices intérieures de ABC.
Soient A', B', et C' les points d'intersection de ces bissectrices avec le cercle circonscrit à ABC.
Notons:, , et
Démontrez que .

just-abdess a écrit:

Salut

mizmaz : peux tu indiquer la faute ?

Solution probleme 47 :

D'aprés l'ennoncé on a


tel que



c'est facile de verifier que F est croissante sur [1,+infin[

donc K est croissante sur [1,+infin[

aussi on a
tel que L(x)=-x²+2x
c'est facile de verifier que L est croissante sur [0,1]
donc K est croissante sur [0,1]

alors K est croissante sur R+
[SAUF ERREUR]

Probleme 48 :
Montrer que 4^9 + 6^10 + 3^20 n’est pas premier.

Pourquoi affirmes-tu que ?

salut
mizmaz :ah oui , désolé , je l'ai edité , j'espere que c'est juste ??

Solution probleme 49 :

posons :

c'est facile de verifier que les deux triangle ABA_1 et AA'C sont semblable donc :


de meme pour les autres , finalement on trouve que


(sauf erreur )

pour l'instant je n'ai pas un exo interessant , je laisse quelqu'un d'autre .... à vous

puis-je poster un exercice?
montrer que 4^545+545^4 n'est pas premier

just-abdess a écrit:

salut
mizmaz :ah oui , désolé , je l'ai edité , j'espere que c'est juste ??

Exact. Bravo.

supista a écrit:

puis-je poster un exercice?
montrer que 4^545+545^4 n'est pas premier

Non, car ton post n'est pas respectueux des règles du marathon.
Tout problème doit être numéroté.
Merci de retirer à présent ton message.

Problème 50 : (* : une étoile)
Soient a et b deux réels différents l'un de l'autre. Montrer que si l'équation (x²+20ax+10b)(x²+20bx+10a)=0 n'a pas de solution réelle, alors 20(b-a) n'est pas un entier.

just-abdess a écrit:

Salut

Solution probleme 47 :

D'aprés l'ennoncé on a


tel que



c'est facile de verifier que F est croissante sur [1,+infin[

donc K est croissante sur [1,+infin[

aussi on a
tel que L(x)=-x²+2x
c'est facile de verifier que L est croissante sur [0,1]
donc K est croissante sur [0,1]

alors K est croissante sur R+
[SAUF ERREUR]

T'a démontré que k(x) est croissante sur [0,1] et sur ]1,+oo[ mais celà n'implique pas nécessairement que k(x) soit croissante sur IR+ .
La fonction : f(x) = 1/(1-x) est un contre example .

oui tu as parfaitement raison , je l'ai edité j'espere que c'est juste ^_^

ça s'applique pour toi aussi t'es pas le dernier qui a résolu l'exercicen nn ?
bon pour ton exercice, it's a piece of cake
dire que l'equation n'a pas de solution réelle est équivalent à dire que les discriminants (réduits) des deux polynomes qui apparait dans le produit sont négatifs, i.e:
100a^2-10b<0 (1) et 100b^2-10a<0 (2)
on pose 20(b-a)=n alors : 10b=1/2(n+20a)=1/2n+10a
on a alors d'apres (1) on x^2-x-1/2n<0 avec x=10a
le discriminant de cette equation est d=1+2n et doit etre >0 donc n>-1/2 est puisque n est entier et que a et b sont differents on aura n>0
de meme 20(a-b)=n' on a 10a=1/2(n'+20b) et d'apres (2) en posant 10b=y
on aura: y^2-y-1/2n'<0
de la meme façon on déduit que : n'>0 ce qui est contradiction car n'=-n

Le fait de poster un exo quand il y en a pas ne contredit pa les règles contrairement au numérotation des exo , en tous cas pour ton exo il faut juste utilise le fait que :
a⁴ + 4b⁴ =(a²+2b²-2ab)(a²+2b²+2ab)
et poser : a=545 et b=4¹³⁶ .
Bon pour continuer voici un nouveau problème :

Problème 51 :
x et y sont deux entiers positifs t.q : 3x²+x=4y²+y
Montrer que x-y est un carré parfait.

Bonsoir :
Solution du problème 51

Spoiler:

Bonjour tout le monde !

Spoiler:

Spoiler:

bonjour tarask
je vois que personne n'a voulus poser de problème
Problème 52 :

Soient a,b des entiers strictement positifs, premiers entre eux dans leurs ensemble, et tels que : (1/a)+(1/b) = (1/c)
PROUVEZ QUE a+b est un carré parfait

Solution de problème 52
on pose pgcd(a,b)=d et a=xd, b=yd on a donc x et y premier entre eux et chacun premier avec c.
De plus 1/a+1/b=1/c ===> c(x+y)=dxy on a facilement x+y premier avec x et avec y. donc (x+y) est premier avec xy,d'après le théorème de Gauss on a x+y|d.Cette fois on a d|c(x+y)
et c et d sont premiers entre eux (car les a,b et c sont premiers entre eux dans leur ensemble), le théorème de gausse donne : d|x+y, donc d=x+y et par suite on a a+b=d^2

problème 53
a_1,a_2,...,a_n sont des nombres réels dans l'intervalle [-2,2], tel que leur somme est nulle ,i.e: a_1+a_2+..+a_n=0.
Montrer que: |a_1^3+a_2^3+..+a_n^2|<=2n

Solution au problème 53 :

Spoiler:

Problème 54 :
Soit a,b,c des réels positifs tels que abc=1 , démontrer que :

solution problème 54:

Spoiler:

(sauf erreur)

problème 55:
soit une suite definit par :

Montrer que

just-abdess a écrit:

solution problème 54:

Spoiler:

(sauf erreur)

problème 55:
soit une suite definit par :

Montrer que

SOlution probleme 55:

Spoiler:

on voit pas les solutions des problemes 53 et 54... SVP poster les solutions encore unr fois

Je crois bien qu'ils sont visibles , il suffit de cliquer sur les spoilers .

ok thanks

Sporovitch a écrit:

just-abdess a écrit:

solution problème 54:

Spoiler:

(sauf erreur)

problème 55:
soit une suite definit par :

Montrer que

SOlution probleme 55:

Spoiler:

Pourquoi ? (J'ai mis un truc dans le spoiler en rouge.)

salut :

Sporovitch : je pense que ta solution est fausse
pour n =900
(5500-900)/(1100-900)+(1100-900)/(5500-900)-(5499-900)/(1099-900)=-(307/4577)

Juste une remarque au sujet du problème 55.
Je crois que cela consiste à minorer la suite par une suite à croissance très lente (presque logarithmique) et qui prend une valeur supérieure à 45 en 1000.
La démonstration de l'inégalité de minoration pourra se faire par récurrence.
La recherche devrait donc se porter, dans cette optique, sur la recherche d'une suite minorante opérationnelle.