Retour au plaisir :)

DC/HC=BQ/HB à lui seul ne permet pas de conclure que les triangles en question sont semblables, on a besoin aussi de montrer que les deux angles DCH et HBQ sont égaux.
C'est néanmoins une conséquence du fait que DCH = 90 - HCB = HBC = HBQ.
Je considère que ta solution est correcte.
Bien.
A toi.

Dijkschneier a écrit:

DC/HC=BQ/HB à lui seul ne permet pas de conclure que les triangles en question sont semblables, on a besoin aussi de montrer que les deux angles DCH et HBQ sont égaux.
C'est néanmoins une conséquence du fait que DCH = 90 - HCB = HBC = HBQ.
Je considère que ta solution est correcte.
Bien.
A toi.

J'ai cru que c'est clair.
car j'ai mentionné que PCB et BHC sont semblables et <HPB=<DCH (ABCD est un carré.)
Problème 41 -(***)
Soit ABCD un quadrilatère convexe inscrit dans un cercle de centre O.
On désigne par P le point d'intersection de (AC)et (BD).
Les cercles circonscrits aux triangles ABP et CDP se recoupent en Q.
si O,P,Q sont distincts; Prouver que (OQ) est perpendiculaire à (PQ).

Sporovitch a écrit:

Problème 41 -(***)
Soit ABCD un quadrilatère convexe inscrit dans un cercle de centre O.
On désigne par P le point d'intersection de (AC)et (BD).
Les cercles circonscrits aux triangles ABP et CDP se recoupent en Q.
si O,P,Q sont distincts; Prouver que (OQ) est perpendiculaire à (PQ).

On a ABD un angle inscrit et AOD un angle au centre, les deux limitant l'arc [AD] dans le cercle circonscrit à ABCD.
Donc .
Donc .
(Car ABP et ACD sont deux angles inscrits limitant le même arc).
Donc .
(Car, d'un côté AQP et ABP sont deux angles inscrits limitant le même arc [AP] dans le cercle circonscrit à ABP, et d'un autre PCD et PQD sont deux angles inscrits limitant le même arc [PD] dans le cercle circonscrit à PDC).
Donc .
Donc les points A, O, Q, et D sont cocycloniques.
Et par conséquent, .
Donc .
(Car, d'un côté OQA et ODA sont deux angles inscrits limitant le même arc [OA] dans le cercle circonscrit à AOQD, et d'un autre AQP et ABP sont deux angles inscrits limitant le même arc [AP] dans le cercle circonscrit à ABP).
Donc .
(Car, ABD un angle inscrit et AOD un angle au centre, les deux limitant l'arc [AD] dans le cercle circonscrit à ABCD).
On a A et D deux points du même cercle.
Donc le triangle AOD est isocèle en O.
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Et ainsi .
Donc .
Soit en résumé (OQ) est perpendiculaire à (PQ).
CQFD.

Voici un autre exercice:
Problème 42:
Soit ABC un triangle.
Soit P, Q, et R trois points situés sur les côtés BC, CA, et AB respectivement.
Les centres des cercles circonscrits respectivement aux triangles AQR, BRP, et CPQ sont A', B', et C'.
Démontrez que les triangle ABC et A'B'C' sont directement semblables.
Bonne chance.

Solution au problème 42 :

Spoiler:

Problème 43 :
Résoudre dans Z⁴ le système suivant :
xz-2yt=3
xt+yz=1

bonsoir,
je vois qu'on a commencé à avoir tendance à la géométrie " ce n'est plus la bête noire "
merci sylphean tu nous a ramené encore une fois à l'algèbre et l'analyse .

Sylphaen a écrit:

Donc :

Tu as passé sous silence le fait que (A'C') soit en fait une bissectrice de l'angle KA'Q.
J'ai une démonstration en tête, mais est-ce bien cela ce que tu as considéré ?

Bonsoir tout le monde.
J'attendrai une réponse de la part de Sylphaen à la question de Dijkschneier pour que je puisse donner ma solution au système .

Bon pour ne pas briser le jeu :
Solution au problème 43

Spoiler:

En attente de confirmation.

Dijkschneier a écrit:

Sylphaen a écrit:

Donc :

Tu as passé sous silence le fait que (A'C') soit en fait une bissectrice de l'angle KA'Q.
J'ai une démonstration en tête, mais est-ce bien cela ce que tu as considéré ?

Oui , je croyais que c'était clair ,c'est pour cela que je l'ai pas démontré ^^

@ Tarask : C'est juste , à toi de poster le prochain problème .

Désolé pour le retard .
Restons dans l'arithmétique.
Problème 44
Trouver tous les entiers naturels x,y et z vérifiant :
x²+y²+z²=2xyz

P.S: je sais que c'est facile , je n'ai pas assez de temps pour vous trouver un exercice difficile.

tarask a écrit:

Désolé pour le retard .
Restons dans l'arithmétique.
Problème 44
Trouver tous les entiers naturels x,y et z vérifiant :
x²+y²+z²=2xyz

P.S: je sais que c'est facile , je n'ai pas assez de temps pour vous trouver un exercice difficile.

Nous avons x²+y²+z² pair donc x, y ou z doit être impérativement pair. Donc 4|x²+y²+z², de ce fait : x, y et z sont pairs puisque si deux sont impairs et un pair x²+y²+z² ne sera pas divisible par 4. Donc,

Par récurrence, prouvons que
Supposons que

Donc :



Donc :

Donc :

Et donc sont pairs. De ce fait :



Donc :



Par principe de récurrence :



De ce fait x=y=z=0
Sauf erreur.
Au plaisir !

desolé je me suis trompé dans mon prec message !

Problème 45 :
Montrez que les racines de tout polynôme P de degrès n s'exprimant de la manière suivante :
avec ne sont pas toutes réelles.

mizmaz a écrit:

Problème 45 :
Montrez que les racines de tout polynôme P de degrès n s'exprimant de la manière suivante :
avec ne sont pas toutes réelles.

Je pense que C'est hors du programme d'Olympiade (Les Complexes), Sinon L'énoncé ci-dessus est l'application directe du théorème d'Alembert-Gauss: Théorème de d'Alembert-Gauss ,

anas-az_137 a écrit:

mizmaz a écrit:

Problème 45 :
Montrez que les racines de tout polynôme P de degrès n s'exprimant de la manière suivante :
avec ne sont pas toutes réelles.

Je pense que C'est hors du programme d'Olympiade (Les Complexes), Sinon L'énoncé ci-dessus est l'application directe du théorème d'Alembert-Gauss: Théorème de d'Alembert-Gauss ,

Je ne pense pas que ce soit une application directe. Sinon, j'ai trouvé l'exercice intéressant. S'il dérange, je l'enlève.

mizmaz a écrit:

anas-az_137 a écrit:

mizmaz a écrit:

Problème 45 :
Montrez que les racines de tout polynôme P de degrès n s'exprimant de la manière suivante :
avec ne sont pas toutes réelles.

Je pense que C'est hors du programme d'Olympiade (Les Complexes), Sinon L'énoncé ci-dessus est l'application directe du théorème d'Alembert-Gauss: Théorème de d'Alembert-Gauss ,

Je ne pense pas que ce soit une application directe. Sinon, j'ai trouvé l'exercice intéressant. S'il dérange, je l'enlève.

Si , c'est une application directe , en effet toute polynôme a coefficients dans C, admet au moins un racine danc C , Les coefficients appartenant a IR (appartenant a C donc) , c'est un cas particulier [] , Pas du tout !

ton exercice est faux !!!
P(x)=x^2-2x+1 n'admet que des racines réels
et je peux générer un contre-exemple pour n'mporte qu'il degré, par exemple prends p(x)=(x-1)^n
et de plus le théorème de D'Alembert-Gauss dis que toute polynome non contant admet une racine, mais ne précise pas que cette racine doit etre REEL ou nn !!!

supista a écrit:

ton exercice est faux !!!
P(x)=x^2-2x+1 n'admet que des racines réels
et je peux générer un contre-exemple pour n'mporte qu'il degré, par exemple prends p(x)=(x-1)^n
et de plus le théorème de D'Alembert-Gauss dis que toute polynome non contant admet une racine, mais ne précise pas que cette racine doit etre REEL ou nn !!!

les nombres réels sonts des nombres complexes dont la partie imaginaire est égal a 0 , [ + je pense que l'exercices est correcte , par contre l'exemple que tu as donné est incorrecte , Si vous observez bien (enfin du compte je me suis trompé aussi) les Coefficients a₁ = a₂ = 0 .

je sais ce que c'est que des nombress réels mais merci pour la définition
mais t'as raison à propos de mon exemple,mais l'exercice est juste il faut supposer que tous les racine sont réel et traduire les condition a_0 non nul et a_1=a_2=0 au moeyen des formules de Viete: http://fr.wikipedia.org/wiki/Relations_entre_coefficients_et_racines
à toi d'essayer maintenant sinon je poste ma démonstration

Solution du probleme 45 :

pour n=3 ,
supposons que le polynome p ( p(x)=x^3+d d est different de 0 ) a 3 solution réel ( a , b , c)


donc

alors
et

(a+b+c)²=0=a²+b²+c²+2(sum ab) =a²+b²+c²
donc a=b=c=0 absurde car abc=d ce qui est diffrent de zero

on passe au cas general , suposons que P admette n racine réel donc



posons

car

donc

et



donc

absurde , sauf erreur

j'attend une confirmation

just-abdess a écrit:

Solution du probleme 45 :

pour n=3 ,
supposons que le polynome p ( p(x)=x^3+d d est different de 0 ) a 3 solution réel ( a , b , c)


donc

alors
et

(a+b+c)²=0=a²+b²+c²+2(sum ab) =a²+b²+c²
donc a=b=c=0 absurde car abc=d ce qui est diffrent de zero

on passe au cas general , suposons que P admette n racine réel donc



donc

et



donc

absurde , sauf erreur

j'attend une confirmation

Exact ! A toi.

probleme 46 :

Trouver tous les couples (a, b) d’entiers strictement positifs tels que
ab² + b + 7 divise a²b + a + b.

Ah, désolé. Ta réponse était fausse.

Solution au problème 46 :
Le problème était déjà posté au forum ici :
https://mathsmaroc.jeun.fr/arithmetiques-f8/a-divisibility-t15896.htm
En tous cas voici ma solution (a,b>=0)

Sylphaen a écrit:

On a :
a²b+b+a>ab²+b=>ab+1>b²=>ab+1>=b²+1
Donc :
D'autre part :

Cas 1 : a=0
Le condition s'écrit a+8|a => a=0
Cas 2 : b=0
La condition s'écrit 7|a alors le couple (7k,0) est une solution
Si a,b>0 On a les cas suivant :
Cas 3 :
b²=7a
Alors 7|b² et 7|a :
Posons : b=7c ,a=7d;c²=d
La condition s'écrit :

Ce qui est vrai alors le couple (7k²,7k) est une solution
Cas 4:

Donc ce cas on a :

Cas 5 :

Alors on a :

Si b=1 alors on a :

Donc les couples (11,1)et(49,1) sont des solutions .
Si b=2 alors :
Cette dernière n'admet pas de solution .
Enfin :

[Problème 47 : ]
f est une fonction numérique défini sur IR+ t.q les fonctions :
h(x)=f(x)-x³
et
g(x)=f(x)-3x
sont croissantes sur IR+
Montrer que la fonction : k(x)=f(x)-x²-x est aussi croissante sur IR+