| | Retour au plaisir :) |  |
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Sporovitch
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| | Sujet: Re: Retour au plaisir :) Ven 29 Oct 2010, 23:47 | |
| - mathslover a écrit:
- solution au prob 8:
- Spoiler:
on a (n,m,l,k) € lN^4 tq n>m>l>k donc il existe a, b et c des entiers naturels tq a>b>c verifient k=k et l=k+c et m=k+b et n=k+a. on a l.m=n.k <=> (k+c)(k+b) = k(k+a) <=> k²+ck+bk+cb = k²+ak <=> k= (bc)/(a-b-c) on MQ (n_k)²/4 k+2 <=> a²/4 >= (bc)/(a-b-c) +2 en faisant le calcul ça va donner : <=> a^3 -a²(b+c) -8a +8(b+c) -4bc >= 0 pospns la fonction f tel que f(x) = x^3 -x²(b+c) -8x +8(b+c) -4bc (avec x€lN et x >= 4 même x>=0 ferra l'affaire) on calcule la dérivé : f'(x) = 3x²-2(b+c)x -8 ; delta = 4(b+c)² + 96 >0 x_1 = ( (b+c) - rac ( (b+c)² - 24) ) /3 strict positif x_2 = ((b+c) + rac ( (b+c)² - 24) ) /3 strict positif sur l'intervalle [0, x_1] croissante sur l'intervalle [x_1, x_2] décroissante sur l'intervalle [x_2, +l'infini] croissante avec f(0) > 0 et f(x_2) >0 ( les images" encore un peu de calcul " ) d'où le resultat . 
probleme 9 : soient x, y et z des reels positifs tels que x+y+z =< 1.
trouver la valeur maximale de l'expression T = xy+yz+xz -2xyz j'aimerais bien que tu le prouve sinon ton problème est tres connu et classique. | |
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majdouline
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| | Sujet: Re: Retour au plaisir :) Dim 31 Oct 2010, 15:17 | |
| - Spoiler:
- mathslover a écrit:
- solution au prob 8:
on a (n,m,l,k) € lN^4 tq n>m>l>k donc il existe a, b et c des entiers naturels tq a>b>c verifient k=k et l=k+c et m=k+b et n=k+a.
on a l.m=n.k
<=> (k+c)(k+b) = k(k+a)
<=> k²+ck+bk+cb = k²+ak
<=> k= (bc)/(a-b-c)
on MQ (n-k)²/4>=k+2
<=> a²/4 >= (bc)/(a-b-c) +2
donc je rectifie ta solution: soient a b et c des entiers strictement positifs avec:a>b>c montrons que :  si a<b+c  supposons donc que a>b+c  CQFD.... mathslover à toi de proposer un nouveau problème....
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tarask
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| | Sujet: Re: Retour au plaisir :) Dim 31 Oct 2010, 22:43 | |
| @mathslover: peux-tu changer de problème? parce que le problème courant est très usé comme l'a signalé sporovitch  Amicalement | |
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Sylphaen
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| | Sujet: Re: Retour au plaisir :) Mar 02 Nov 2010, 21:23 | |
| Pour avancer le jeu je poste ce petit exo :
Problème 9 :
On considère la suite (xn)n£IN telle que :
xn=5xn-1-8,n≥1
Prouver qu'il existe une valeur entière de x0 pour laquelle 1993 divise x2010 | |
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just-abdess
Maître
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| | Sujet: Re: Retour au plaisir :) Mar 02 Nov 2010, 23:30 | |
| Solution probleme 9 :- Spoiler:
si on pose une suite (u_n) tel que
U_n=X_(n+1)-X_n
c'est facile de prouver que cette suite est geometrique
donc U_n= (X_1 - X_0) 5^n = 4(X_0-2)5^n
alors on deduit que :
X_n= (X_0-2)*5^n+2
on pose X_0-2=x
pour MQ'il existe un X_0
donc on doit MQ'il existe une solutio a cette equation dans Z
1993k-2^2010*x=2
et puiske gcd( 2^2010, 1993)=1 divise 2
Donc il existe vraiment un X_0 tel que 1993 divise x_2010
sauf erreur ^_^ ( si mes calcules sont juste X_0=759 fera l'affaire )
probleme 10 : calculez A  avec  la partie entier | |
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Sylphaen
Expert sup
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| | Sujet: Re: Retour au plaisir :) Mer 03 Nov 2010, 11:54 | |
| Solution au problème 10 : - Spoiler:
Problème 11 : Trouver tous les polynômes P à coefficients entiers et vérifiant :  | |
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abdellah=einstein
Maître
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| | Sujet: Re: Retour au plaisir :) Mer 03 Nov 2010, 12:18 | |
| p(n)|(2n-1) => deg(p)=<1 et il existe un entier k tels que kp(n)=2n-1
sois p(n)=an+b=> kan+kb=2n-1=>ak=2 et kb=-1
ak=2 et kb=-1=>
*a=2 b=1 et k=1
*a=-2 et b=1 et k=-1
=>p(n)=2n-1 ou p(n)=-2n+1
d'autre coté si p(n) est une polynome costante il doit etre egale a l'un des divieurs de 2n-1=>p(n)=1 ou p(n)=-1
Problem 12
voici un petit jloi problem
soit n un entier naturel impair
on ecrit sur un tableau les nombres de l'ensemble S={1;2;3........;2n} (d'un ordre quelquonque) on fait l'opération suivante : en prend deux nombres ecrit a et b on les efface est ecrire a leur place |a-b| est ainsi de suite
A la fin des ces opérations on va trvé un nombre paire ou impaire?? | |
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Sporovitch
Maître
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| | Sujet: Re: Retour au plaisir :) Mer 03 Nov 2010, 13:26 | |
| Solution au problème 12 La réponse écrite au tableau conserve sa parité au cours du processus décrit. donc cette parité et celle de la somme suivante 1+2+3+...+2n =n(2n+1) donc le nombre écrit au tableau prendra la parité de n. sauf erreur ! Probleme 13soient x,y >0 tels que : Trouver la valeur maximale de x²yet determiner le cas d'égalité. | |
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Dijkschneier
Expert sup
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| | Sujet: Re: Retour au plaisir :) Mer 03 Nov 2010, 15:28 | |
| Solution au problème 12 :
S recense au départ n entiers pairs, et n entiers impairs.
Soient à chaque opération, u le nombre d'entiers pairs de S, et v le nombre d'entiers impairs de S.
L'opération décrite laisse v de même parité (c'est un invariant de parité) à chaque opération (se démontre par disjonction de cas sur a et b).
Mais v=n=impair au départ, donc au final, v sera impair, et sera égal à 1 puisque à la fin on n'a plus qu'un seul élément (l'algorithme finit par se terminer).
Le nombre restant sera par conséquent impair. | |
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Sporovitch
Maître
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| | Sujet: Re: Retour au plaisir :) Mer 03 Nov 2010, 21:27 | |
| - Dijkschneier a écrit:
- Solution au problème 12 :
S recense au départ n entiers pairs, et n entiers impairs.
Soient à chaque opération, u le nombre d'entiers pairs de S, et v le nombre d'entiers impairs de S.
L'opération décrite laisse v de même parité (c'est un invariant de parité) à chaque opération (se démontre par disjonction de cas sur a et b).
Mais v=n=impair au départ, donc au final, v sera impair, et sera égal à 1 puisque à la fin on n'a plus qu'un seul élément (l'algorithme finit par se terminer).
Le nombre restant sera par conséquent impair. Non! Lis bien ma solution VOici un contre exemple on prend l'ensemble S={1,2,3,4} ici n=2 ...  | |
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Dijkschneier
Expert sup
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| | Sujet: Re: Retour au plaisir :) Mer 03 Nov 2010, 22:54 | |
| - Sporovitch a écrit:
- Non!
Lis bien ma solution
VOici un contre exemple
on prend l'ensemble S={1,2,3,4}
ici n=2
... n est supposé au tout du début de l'énoncé du problème être impair. | |
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Sporovitch
Maître
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| | Sujet: Re: Retour au plaisir :) Mer 03 Nov 2010, 23:13 | |
| Désolé C'est de ma faute j'ai pas bien lu l'énnoncé Désolé  | |
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Sylphaen
Expert sup
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| | Sujet: Re: Retour au plaisir :) Jeu 04 Nov 2010, 12:06 | |
| Solution au problème 13 : - Spoiler:
Posons : x=ky / k £ IR *+On a : x²y=k²y³ et de l'égalité initiale on obtient :  d'où : ^3}) La fonction :  est dérivable sur IR+ et on a :  Donc f est maximal quand t=2 . Alors la valeur maximal de x²y est  , et on obtient l'égalité quand  .
Problème 14 : Les sommets A,B d'un triangle équilatéral ABC se trouve sur un cercle k de rayon 1 . Et le sommet C se trouve à l'intérieur de k . Le point D différent de B se trouve sur k t.q AD=AB .La droite (DC) intersecte k pour la deuxième fois en E . Calculer la longueur CE . | |
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abdellah=einstein
Maître
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| | Sujet: Re: Retour au plaisir :) Jeu 04 Nov 2010, 23:29 | |
| bonsoir solution du probléme 14 - Spoiler:
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Dijkschneier
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| | Sujet: Re: Retour au plaisir :) Ven 05 Nov 2010, 12:33 | |
| @abdellah=einstein : attention, c'est AD qui est égal à AB, pas BD. | |
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abdellah=einstein
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| | Sujet: Re: Retour au plaisir :) Ven 05 Nov 2010, 19:30 | |
| dsl cétais une faute d'innatention mais la demarche est correcte je crois il suffit de voir qu'il y a une role symetrique entre A et B (je crois) | |
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mathslover
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| | Sujet: Re: Retour au plaisir :) Ven 05 Nov 2010, 20:52 | |
| @abdellah=Einstein : Je ne crois pas vraiment qu'en changeant A par B dans ta solution le probleme va se resoudre en ts cas voilà ma solution pour l' probleme 14 - Spoiler:
j'ai pas pu uploader la figure aidez moi svp en tous cas voilà ma solution D'apres les angles inscrits et les angles au centre on a : <BAD/2 + <BCD = 180° et <BAD + <BED = 180° => < BAD + 2<BCD = 360° et <BAD + <BED = 180° => 2<BCD = 180° + <BED => <BCD = (180° + <BED)/2 => <BCD = 90°+ <BED/2 => Sin (<BCD) = Sin(90°+ <BED/2) => Sin (<BCE) = Cos (<BED/2) => <BCE + <BED/2 =90° => 2<BCE + <BEC/2 = 180° et on a <BCE + <BEC + <CBE = 180° en faisant la sou straction de 2<BCE + <BEC/2 = 180° et <BCE + <BEC + <CBE = 180° on a <BCE = <EBC
donc le triangle EBC est isocele en E Soit O le centre du cercle k en utilisant encore une fois les angles inscrits et les angles au centre on a: 2 <BED = <BOD => 2 <BED = <BOA + <AOB => 2 <BED = 2 <BOA => <BED = <BOA on a donc BEC isolcele en E et AOB isocele en O tel que <BED = <BOA
donc les deux triangles sont semblables et puisque AB = BC les deux triangles sont isométriques d'où le resultat : OA = 0B = EB = EC =1
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abdellah=einstein
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| | Sujet: Re: Retour au plaisir :) Ven 05 Nov 2010, 21:29 | |
| Problem 15 trouvé les 100 premiers chiffres aprés la virgule du nombre ^{100}) @ mathsolver c'est seulemnt que j'ai changé les places entre A et B(dans la figure et dans la solution) . | |
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mathslover
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| | Sujet: Re: Retour au plaisir :) Ven 05 Nov 2010, 21:49 | |
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majdouline
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| | Sujet: Re: Retour au plaisir :) Dim 07 Nov 2010, 15:29 | |
| solution du problème 15:- Spoiler:
on a :  Or :  ainsi :  ^{100}%3CA) avec B=A-1 ainsi les 100 premiers chiffres après la virgule sont tous des 9. sauf erreur......
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mathslover
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| | Sujet: Re: Retour au plaisir :) Dim 07 Nov 2010, 17:15 | |
| salut majdouline ! Je craints que ta solution ne soit la bonne . en utilisant ce site http://www.wolframalpha.com/ tu peux voir les cent chiffres apres la virgule et ce n'est pas des 9 voilà le lien directement http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28sqrt{26}+%2B+5%29+^100
avant d'oublier ! merci pour tes renseignements sur l'ecriture en latex | |
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majdouline
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| | Sujet: Re: Retour au plaisir :) Dim 07 Nov 2010, 17:27 | |
| salut.... revois bien le résultat donné et n'oublie pas de remarquer le x10 100 à coté .... P.S.je crois que ma solution est correcte,le résultat aussi^^ problème 16:  | |
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mathslover
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| | Sujet: Re: Retour au plaisir :) Dim 07 Nov 2010, 20:21 | |
| sorry for my badness majdouline ! voilà ma solution pour le probleme 16. - Spoiler:
On a: (1-c²)/bc >= 0
=>(bc)² * ((1-c²)/bc) >=0
=>-bc^3 >= -bc
donc 10(a²+b²+c²-bc^3) >= 10(a²+b²+c²-bc)
donc ilsuffit de demontrer que 10(a²+b²+c²-bc) >= 2ab + 5ac
<=> 10(a²+b²+c²) >= 2ab+5ac+10bc
on a 1°/ a²+b² >= 2ab
2°/ (5/2)*(a²+c²) >= 5ac
3°/ 5(b²+c²) >= 10 bc
donc il suffit de MQ 10(a²+b²+c²) >= a²+b²+ (5/2)*(a²+c²) + 5(b²+c²)
<=> 20(a²+b²+c²) >= 7a²+12b²+15c² CQFD
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mathslover
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Dijkschneier
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| | Sujet: Re: Retour au plaisir :) Mer 10 Nov 2010, 16:08 | |
| Solution au problème 17 :Attention ! Ce n'est vrai que si n n'est pas une puissance de 2 ! %20&=%20v_2(\frac{(2n)!}{(n!)^2}%20)%20\\%20&=%20v_2((2n)!)-2v_2(n!)%20\\%20&=%20\sum%20_{i=1}^{\infty%20}%20E(\frac{2n}{2^i})%20-%202\sum%20_{i=1}^{\infty%20}%20E(\frac{n}{2^i})%20\\%20&=%20n%20-%20\sum%20_{i=1}^{\infty%20}%20E(\frac{n}{2^i})%20\end{align*}) . Soit  l'entier tel que  . Et par des arguments de convergence de séries, on sait que  . (Voir le paradoxe de Zénon). De fait : %20&=%20n(\sum_{i=1}^{i_{max}}%20\frac{1}{2^i}+\sum_{i=i_{max}+1}^{\infty%20}\frac{1}{2^i}%20)-%20\sum%20_{i=1}^{i_{max}}%20E(\frac{n}{2^i})\\%20&=%20\sum_{i=1}^{i_{max}}%20\frac{n}{2^i}%20-%20\sum%20_{i=1}^{i_{max}}%20E(\frac{n}{2^i})%20+%20\sum_{i=i_{max}+1}^{\infty%20}\frac{n}{2^i}%20\\%20&\geq%20\sum_{i=i_{max}+1}^{\infty%20}\frac{n}{2^i}%20\\%20&=%20\frac{n}{2^{i_{max}}}%20\\%20&%3E%201%20\\%20&\geq%202%20\end{align*}) CQFD. Si n est une puissance de 2, alors =1%3C2) | |
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| | Sujet: Re: Retour au plaisir :) | |
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