Retour au plaisir :)

dsl si je parle hors de sujet , mais Dijkschneier vous etes en 1 ere SM et vous avez etudiez les series ?

Fermat-X : Le pdf ici http://bkristof.free.fr/ était si bien rédigé que je fus immédiatement saisi par la lecture. J'ai appris bien d'autres choses sur ce site d'ailleurs.

Problème 18 : (* : une étoile)
Montrer que parmi 10 entiers consécutifs, il en existe un qui est premier avec tous les autres.

solution du Problème 18 :

Spoiler:

Probleme 19 :
soit ,C1 ,C2 , C3, et C4 quatre cercle , on suppose qe C1 et C2 se coupent en P1 et Q1 , que C2 et C3 se coupent en P2 et Q2 , que C3 et C4 se coupent en P3 et Q3 ,et que C4 et C1 se coupent en P4 et Q4 .

Montrer que si les point P1 P2 P3 et P4 sont cocyclique , alors les points Q1 Q2 Q3 et Q4 le sont egalement .

bonsoir tout le monde, je ne voudrais pas paraître insolante ou quelque chose de ce genre mais il y a une vérité qui me gêne et que je dois réclamer:
vu votre âge vous êtes tous des étudiants en terminal ou en première année 16/17, vu aussi vos réponses ( si c'étaient vraiment les votres) on peut clairement constaté que vous êtes très très excellents vous dépassez même votre niveau scolaire non mais aussi dans certaines réponses vous avez recours à des théorèmes et une logique propre à quelqu'un titulé d'un doctorat spécialité maths ... ou un niveau plus elevé comme une réponse que j'ai vue ou un élève de ""16 ans""!! a démontré une question à l'aide d'une logique prise d'une leçon de "distribution" que même les mathssup trouvent de graves difficultés pour la comprendre!!! ne me faites pas croire que vous avez pu le faire !!!!
en plus si vous êtes si brillants pourquoi ne passez vous pas un bac libre comme font les génies en france ou d'autres pays et vu votre "" niveau "" vous l'aurez avec mention très très bien !!!!!!!
et par la fin n'ayez pas croire que j'ai quelque chose contre vous j'ai seulement dit ce qui me faisait mal à la tête et sachez bien que ce que j'ai dit n'est pas un opinion personnel mais l'opinion d'un nombre de professeurs vraiment experts qui ont eu la gentillesse d'examiner vos questions postées et vos réponses et selon eux il est facile de chercher des anciens livres de maths... et y prendre des casse_tête et les poster sachant qu'on a déjà la solution dans la page précédente.
PS: je ne généralise pas mais la probabilité du nombre de ceux dont je parle est de 99.99%

et avant de me répondre réfléchissez-bien parceque j'ai parlé poliment et je ne veux pas voir de réponses impolites !!!

à très bientôt.

m_zeynep a écrit:

bonsoir tout le monde, je ne voudrais pas paraître insolante ou quelque chose de ce genre mais il y a une vérité qui me gêne et que je dois réclamer:
vu votre âge vous êtes tous des étudiants en terminal ou en première année 16/17, vu aussi vos réponses ( si c'étaient vraiment les votres) on peut clairement constaté que vous êtes très très excellents vous dépassez même votre niveau scolaire non mais aussi dans certaines réponses vous avez recours à des théorèmes et une logique propre à quelqu'un titulé d'un doctorat spécialité maths ... ou un niveau plus elevé comme une réponse que j'ai vue ou un élève de ""16 ans""!! a démontré une question à l'aide d'une logique prise d'une leçon de "distribution" que même les mathssup trouvent de graves difficultés pour la comprendre!!! ne me faites pas croire que vous avez pu le faire !!!!
en plus si vous êtes si brillants pourquoi ne passez vous pas un bac libre comme font les génies en france ou d'autres pays et vu votre "" niveau "" vous l'aurez avec mention très très bien !!!!!!!
et par la fin n'ayez pas croire que j'ai quelque chose contre vous j'ai seulement dit ce qui me faisait mal à la tête et sachez bien que ce que j'ai dit n'est pas un opinion personnel mais l'opinion d'un nombre de professeurs vraiment experts qui ont eu la gentillesse d'examiner vos questions postées et vos réponses et selon eux il est facile de chercher des anciens livres de maths... et y prendre des casse_tête et les poster sachant qu'on a déjà la solution dans la page précédente.
PS: je ne généralise pas mais la probabilité du nombre de ceux dont je parle est de 99.99%

et avant de me répondre réfléchissez-bien parceque j'ai parlé poliment et je ne veux pas voir de réponses impolites !!!

à très bientôt.

Si Sylphaen le permet bien , je vais te répondre bien que ça nuit au sujet qui a pour but la préparation aux prochains OMI
Il suffit de remarquer que la plupart des participants dans les OMI étaient membres de cette communauté Brillants , les membres de mathsmaroc le sont !! Ce n'est pas une manifestation d'orgueil ou quelque chose ....
Pas besoin de dire que le niveau dépasse même celui des mathssup !! Le programme des olympiade IMPOSE à l'élève de se détacher du programme du ministère , pour ainsi améliorer ses compétences analytiques !
J'ai remarqué que tu n'es pas convaincue que les réponses des membres sont vraiment propres à eux .... Et bien je sais pas quoi te dire ..... à ton avis , on vient d'où avec ces solutions ? et ça serai quoi le but de poster une réponse alors qu'elle n'est pas la sienne ????
Amicalement
P.S: Tu peux ouvrir un autre sujet pour discuter ailleurs ! enfin si vous avez plus de questions
Désolé les amis si je dévie le sujet !!!

Spoiler:

Solution au probleme 20 :

Spoiler:

Probleme 21:

avec xy+xz+yz=1

bonjour, j'espère que personne n'est fâché contre moi

solution au problème 21:

pour simplifier je pose : p=x+y+z , q=xy+xz+yz et r=xyz

D’après schur on a pour tout x,y,z ≥0 et n réel :
xⁿ(x-y)(x-z)+yⁿ(y-x)(y-z)+zⁿ(z-x)(z-y) ≥ 0
pour n=0
on obtient : pq-9r≥0 (1)
pour n=1
on obtient : p^3-4pq+9r≥ 0 (2)

de 1 et 2 on peut encadrer r :
(4pq-p^3)/9≤r≤pq/9

D’après l’énoncé de sporovitch q=1 donc : 9 r ≥ 4p-p^3
Et la réponse s’enchaîne facilement par la suite.


problème 22:

montrer que pout tout a,b,c ≥ 0 et a²+b²+c²=3
12+9abc ≥ 7(ab+bc+ac)

Solution au problème 22 :
Soient p,q et r les quantités habituelles.
La condition de l'exercice nous donne : p²=3+2q.
Et l'inégalité est équivalente à : 12 + 9r - 7q >= 0
<=> (p^3 - 4pq + 9r) + [12-7q+p(4q-p²)] >= 0
Le premier terme est positif d'après l'inégalité de Schur pour t=1, et le second est égal à (en utilisant la condition de l'exercice) :
[12 - 7/2 (p²-3) + p(p²-6)]
= (2p^3 - 7p² - 12p +45)/2
= (p-3)²(2p+5)/2
>= 0.
CQFD.

Problème 23 : (* : une étoile)
Montrer que dans un polyèdre quelconque, il y a toujours deux faces ayant le même nombre de côtés.

bonjour dijkshneier, est ce que tu veux dire par les côtés les arêtes d'un polyèdre ?

@m_zeynep : oui.

Solution au problème 23 :
Considérons la face de polyèdre qui a le nombre maximal de côtés( disons n côtés ) . chaque côtés de cette face génère une nouvelle face ( c à d chaque côté est liée à une face différente ) .Par conséquent le polyèdre possède au moin n+1 face . et d'après le principe de tiroir il existe au moin 2 faces qui ont le même nombre de côtés .. D'où le résultat .

m_zeynep a écrit:

D’après l’énoncé de sporovitch q=1 donc : 9 r ≥ 4p-p^3
Et la réponse s’enchaîne facilement par la suite.

@ m_zeynep : Peut tu mieux expliquer cette partie de ta démo stp ?

Oui Sylphaen. A toi.

Problème 24 :
Trouver toues les fonctions f:IR -> IR t.q pour tous réels x et y :

f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+2xy+1

bonsoir sylphaen, c'est avec un grand plaisir que je t'explique cette partie de ma démonstration:

On a dit que : (4pq-p^3)/9 ≤ r ≤ pq/9
On a besoin seulement de : r ≥ (4pq-p^3)/9
: q= xy+xz+yz et dans l’énoncé il est donné que q=1
Alors cela devient : r ≥ (4p-p^3)/9
Equivalant à : 9r ≥ 4p-p^3

j'espère que j'ai répondu à ta question.
amicalement zeynep.

Solution au problème 24 :
Soit f une fonction vérifiant l'équation fonctionnelle.
Pour y=0 dans l'EF, il vient après factorisation que [f(x)-1][f(0)+1]=0.
- Si f(0) est différent de -1, alors f(x)=1 pour tout réel x.
Mais inversement, cette fonction ne vérifie pas l'EF.
- Si f(0)=-1
Pour x=1 et y=-1, il vient que f(-1)=0 ou f(1)=1.
* Si f(1)=1
Alors pour y=1 dans l'EF, il vient après simplification que f(x+1)=2x+1 et par conséquent, f(x)=2x-1 pour tout réel x.
Inversement, cette fonction vérifie l'EF.
* Si f(1) est différent de 1
Alors f(-1) = 0.
Pour x=-2 et y=1 dans l'EF, il vient . (1)
Pour x=y=-1, il vient f(-2)=f(1)+3. (2)
De (1) et (2), on déduit que f(1)[f(1)+2]=0, donc f(1)=0 ou f(1)=-2.
** Si f(1)=0
Alors pour y=1 dans l'EF, il vient f(x+1)=f(x)+2x+1 (3)
Et en faisant x->x+1 et y=-1, il vient f(x)=f(-(x+1)) - 2x - 1 (4)
De (3) et (4) on déduit que f(x+1)=f(-(x+1)), d'où f est paire.
En faisant y=x puis y=-x, on déduit finalement, après une longue équation, en s'appuyant sur la parité, que f(2x)=4x² -1, donc f(x)=x²-1.
Inversement, cette fonction vérifie l'EF.
** Si f(1)=-2
On prouve alors, en faisant les mêmes substitutions, non pas que f est paire, mais que .
En faisant x->x+1 et y=-x, on trouve : -2 + f(x+1)f(-x) = f(-x(x+1)) -2x(x+1) +1 (5)
Et en faisant y=-(x+1) : f(x)f(-(x+1)) = f(-x(x+1)) -2x(x+1) +1 (6)
Et là, remarque fondamentale, les termes de droite de (5) et de (6) sont les mêmes ! Cela nous permet d'écrire l'équation : -2 + f(x+1)f(-x) = f(x)f(-(x+1)), qui, en s'appuyant sur , nous donne, après une longue résolution, que nous éviterons pour des raisons évidentes de concision, que f(x)=-(1+x)
Inversement, cette fonction vérifie l'EF.
Ouf ! Fini !

Synthèse :
L'ensemble des solutions de l'EF sont les fonctions : f(x)=2x-1, f(x)=x²-1, et f(x) = -(1+x).

Problème 25 : (* : une étoile)
Soient q > r > 0 des nombres rationnels tels que soit lui aussi un rationnel.
Montrer que dans ce cas, et sont eux-même rationnels.

BJR Dijkschneier !!!

Etant donné que c'est un " Retour au plaisir " de faire des Maths et que je ne veux pas gâcher non plus ce plaisir aux Autres ...
Je dirais simplement que la Clé c'est l'identité q-r=(rac(q) + rac(p)).(rac(q) - rac(p))
et le reste devrait couler de Source avec un peu de Sagacité ...

Bonne Journée & Bonne Fête !!

LHASSANE

Bonjour Bison_Fûté.
Vos idées sont toujours bonnes, et votre obligeance exemplaire.
Bonne journée.

Dijkschneier a écrit:

Problème 25 : (* : une étoile)
Soient q > r > 0 des nombres rationnels tels que soit lui aussi un rationnel.
Montrer que dans ce cas, et sont eux-même rationnels.

Puisque , donc d'une part. D'une autre part :
Et donc : e.i
Nous avons donc :


Sauf erreur.
Au plaisir !

Oui mizmaz. A toi.

Problème 26 :
Soit P polynôme à coefficients positifs. Montrez que si alors

c'est edité apres l'edition de mizmaz

Je n'ai pas compris.

aaaah desolé j'ai pas bien lu l'enoncé. d'aileurs je voie que ton probleme est faux .
contre exemple: prend p(x)=(1/5)x² +(1/7)x+23/35 et prend x pour 0.001