Applications de l'inégalité de Karamata

Ce lien est réservé à l'inégalité de Karamata, elle est facile à comprendre et terriblement efficace. Celui qui résout l'exercice devra proposer un nouveau dans cette page et ainsi de suite.

http://en.wikipedia.org/wiki/Karamata%27s_inequality

Je commence: soient a,b,c des réels strictement positifs. montrer que:

1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c) <= 1/(2a)+1/(2b)+1/(2c)

qu'est ce que l'inégalité Karamata ? Merci beaucoup ,
sinon pour cette inégalité voici ma solution :
Par C-S :

il suffit de sommer cycliquement

J'ai ajouté le lien vers l'inégalité.

Ta solution est bonne mais elle ne répond pas aux contraintes de l'exercice

Pour ceux qui ne la connaissent pas, essayez d apprendre cette technique aussi!

Solution
par symétrie ,supposons que

on ainsi :

ainsi (2a,2b,2c) majore (a+b,b+c,a+c)
En tenant compte du fait que la fonction f(x)=1/x est convexe ,et on utilisant l'inégalité de karamata ,on obtient :

j'avais déjà entendu parler de cette inégalité mais à vrai dire je ne la connaissais pas .
la méthode de oty reste la meilleure à mon avis vue la simplicité ,j'aimerais bien trouver un exemple dans le quel cette inégalité devient indispensable .

Solution juste. Je propose un nouveau exercice alors.

Inegalite 2: IMO 2000

Soient a,b,c des reels positifs tels que: abc = 1.
Montrer que: (a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)<=1

Indication:
1) d abord eliminer la contrainte abc=1 en introduisant de nouvelles variables x,y,z...
2) consider la fonction -ln(x) (attention au cas ou x<0 )

...

Mr Bel_Jad , je crois que c'est a vous qu'on doit remettre la responsabilité de la préparation des equipes marocaine , vraiment tbarkellah 3like , vous avez une expérience au IMO et vous avez partagez vos connaissances BRAVO !
Ps : je pense que cette Karamata est interdite au IMO ,
sinon il faut la prouver avant de l'utiliser ce qui est vraiment tres difficile et pas efficace .
je crois que seul les inégalités de BASES comme C-S , AM-GM , chebychev .... qui sont permis . Merci .

On pose: a=x/y , b=y/z , c=z/x (x,y,z strictement positifs)
(a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)<=1
<=>(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y)<=xyz
On suppose que: x<=y<=z
x>(x+y-z)
x+y>(x+y-z)+(z+x-y)
x+y+z=(x+y-z)+(z+x-y)+(z+y-x)
On considère la fonction f(x)=-ln(x) qui est convexe biensur.
f(x)+f(y)+f(z)<=f(x+y+z)+f(z+x-y)+f(z+y-x)
Le résultat en découle.

Il y a une petite erreur "non triviale" dans ton raisonnement. Tu as utilisé la fonction -ln(x) alors il faut que x soit strictement positif.

Donc tu fais une étude de cas: x+y-z<=0 alors il n y a rien à montrer puisque
(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y)<=0<=xyz

x+y-z>0 alors là tu utilises Karamata.

Mais généralement, très bonne solution

Oty: merci pour le compliment

Oty a écrit:

Mr Bel_Jad , je crois que c'est a vous qu'on doit remettre la responsabilité de la préparation des equipes marocaine , vraiment tbarkellah 3like , vous avez une expérience au IMO et vous avez partagez vos connaissances BRAVO !
Ps : je pense que cette Karamata est interdite au IMO ,
sinon il faut la prouver avant de l'utiliser ce qui est vraiment tres difficile et pas efficace .
je crois que seul les inégalités de BASES comme C-S , AM-GM , chebychev .... qui sont permis . Merci .

T'es sur Othmane :O si oui j'aimerais Bien que tu me passe une source

Ah merci pour la remarque, j'ai pas fait attention ^^

Inégalité 3: Asian Pacific Olympid 1996

Soient a,b,c les côtés d'un triangle. montrer que:
rac(a+b-c)+rac(b+c-a)+rac(c+a-b)<=rac(a)+rac(b)+rac(c)

alidos a écrit:

T'es sur Othmane :O si oui j'aimerais Bien que tu me passe une source

je tiens cette information d'un ami sur AOPS , aussi si c'est methode etait permise alors elles seraient étudier dans Les stages , or ce n'est pas le cas .

On suppose que: a>=b>=c (a,b,c tous strictement positifs)
Alors:
(a+b-c)>=a
(a+b-c)+(a+c-b)>=a+b
(a+b-c)+(a+c-b)+(b+c-a)=(a+b+c)
On considère la fonction f(x)=rac(x) définie sur R+, qui est concave biensur sur R*+.
Donc on a:
rac(a+b-c)+rac(a+c-b)+rac(b+c-a)<=rac(a)+rac(b)+rac(c)
(Le cas d'égalité si: a=b=c)
D'ou le résultat.

Jolie. Je vois que tu as maitrisé la technique

Un peu oui ^^

Inégalité 4:

Soient a(1), a(2), a(3),...,a(2n+1) des réels strictement positifs tels que a(1)>=a(2)>= a(3)>=...>=a(2n+1)>= 0. Et soit f une fonction convexe de [0,a(1)] vers R. montrer que:
f(a(1)-a(2)+a(3)-...+a(2n+1))<=f(a(1))-f(a(2))+f(a(3))-.....+f(a(2n+1))

boubou math a écrit:

Solution
par symétrie ,supposons que

on ainsi :

ainsi (a,b,c) majore (a+b,b+c,a+c)
En tenant compte du fait que la fonction f(x)=1/x est convexe ,et on utilisant l'inégalité de karamata ,on obtient :

j'avais déjà entendu parler de cette inégalité mais à vrai dire je ne la connaissais pas .
la méthode de oty reste la meilleure à mon avis vue la simplicité ,j'aimerais bien trouver un exemple dans le quel cette inégalité devient indispensable .

on doit ecrire (2a,2b,2c) majore (a+b,b+c,a+c)

younesmath2012 a écrit:

boubou math a écrit:

Solution
par symétrie ,supposons que

on ainsi :

ainsi (a,b,c) majore (a+b,b+c,a+c)
En tenant compte du fait que la fonction f(x)=1/x est convexe ,et on utilisant l'inégalité de karamata ,on obtient :

j'avais déjà entendu parler de cette inégalité mais à vrai dire je ne la connaissais pas .
la méthode de oty reste la meilleure à mon avis vue la simplicité ,j'aimerais bien trouver un exemple dans le quel cette inégalité devient indispensable .

on doit ecrire (2a,2b,2c) majore (a+b,b+c,a+c)

oué faute d'inattention .

qu'est ce que vous disez Mr"bel_jad5" ?

Tu veux dire l inverse ?

non , mais il manque un peu d'ennoncé pour demmarer avec Karamata !!!
et je suis sur qu'on va utiliser ce que j'ai ecrit :

peux tu rédiger ton raisonnement proprement ?