Applications de l'inégalité de Karamata

bel_jad5 a écrit:

Inégalité 4:

Soient a(1), a(2), a(3),...,a(2n+1) des réels strictement positifs tels que a(1)>=a(2)>= a(3)>=...>=a(2n+1)>= 0. Et soit f une fonction convexe de [0,a(1)] vers R. montrer que:
f(a(1)-a(2)+a(3)-...+a(2n+1))<=f(a(1))-f(a(2))+f(a(3))-.....+f(a(2n+1))

Solution:
On a:
a_1>=a_1-a_2+...+a_2n+1 (d'après la condition)
a_1+a_3>=a_1-a_2+a_3+...+a_2n+1+a_2
.
.
.
a_1+a_3 +... +a_2n+1=a_1-a_2+...+a_2n+1+a_2+a_4+...a_2n
Donc (a_1,a_3,...a_2n+1) >> (a_1-a_2+...+a_2n+1,a_2,a_4,...,a_2n)
==> le résultat par Karamata.
Inégalité 5:
Prouver que :

a_1,a_2,...,a_n£ ??

Younes: tu es d accord ou pas ?

Geo a écrit:

Solution:
On a:
a_1>=a_1-a_2+...+a_2n+1 (d'après la condition)
a_1+a_3>=a_1-a_2+a_3+...+a_2n+1+a_2
.
.
.
a_1+a_3 +... +a_2n+1=a_1-a_2+...+a_2n+1+a_2+a_4+...a_2n
Donc (a_1,a_3,...a_2n+1) >> (a_1-a_2+...+a_2n+1,a_2,a_4,...,a_2n)
==> le résultat par Karamata.

MR''Geo'' c'est pas une solution vous n'avez rien fait !!! c'est du ''driblage''
l'exercice n'est pas resolu !!!

Mr''bel_jad5'' verifier la source de cet exercice car on ne peut pas appliquer karamata ici,
car comme j'ai deja dis il manque beaucoup d'ennoncé !!!
question :est ce que vous avez la reponse de cet exercice!!! ?

younesmath2012 a écrit:

MR''Geo'' c'est pas une solution vous n'avez rien fait !!! c'est du ''driblage''
l'exercice n'est pas resolu !!!

Pourquoi ce n'est pas une solution Mr younes?
driblage:
Mr bel_jad5, peux-tu corriger la solution proposée ?
Amicalement

verifiez les conditions du theoreme de Karamata pour voir ce qu'on doit demontrer comme conditions qui n'existent plus dans l'ennoncé et merci !!!

Younes: Qu est ce qui manque à la démonstration? soit plus explicite!

[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?pour%20~~n~~fix%C3%A9~~posons%20~~a_{0}=a_{1}-a_{2}+a_{3}-...+a_{2n+1}%20\\les~~choses~~qui~~manquent~~(pour~~ne~~pas~~dribler~~!!!)~~sont~~\fbox1~~et~~\fbox2~~:\\%20\fbox1~\bullet%20~a_{0}~~\epsilon%20~~\left%20[%200;a_{1}%20\right%20]~.~(a_{0}~\geq%20~0~~evident~,~mais~~a_{0}\leq%20a_{1}~~non~~plus!!!(on~~ne~~peut~~pas~~la~~conclure))\\\\\fbox2~\bullet%20\sum_{i=0}^{k}x_{i}~~\ge%20\sum_{i=0}^{k}~~y_{i}~~\forall%20k~~\epsilon%20\left%20\{%20~0;1;...;n%20\right%20\}(notons~~x_{k}=a_{2k}~;~y_{k}=a_{2k+1})\\et~~pour~~\fbox3%20~~\sum_{i=0}^{n}x_{i}~~=%20\sum_{i=0}^{n}~~y_{i}~(~c'est~~evident)\\\bigstar~~%20si~~on~~arrive~~%C3%A0~~demontrer~~\fbox1~~et~~\fbox2~~le~~reste~~est~~clair~~on~~dit~~alors~~:\\donc~~la~~suite~~(x_{0};x_{1};...;x_{n})~~majore~~la~~suite~~(x_{0};x_{1};...;x_{n})~~et~~d'apres~~karamata~~puisque~~f~~est~~convexe~~on~~deduit~~que~~\sum_{i=0}^{n}f(x_{i})\geq%20~\sum_{i=0}^{n}f(y_{i})\Rightarrow%20la~~relation~~demand%C3%A8~~dans~~l'exercice~~.[/img]

wach dakchi howa hadak ola la ?

Je pense que tu as pas vu que la suite a_i est décroissante

allah yehdina wi hdik ga3 lmo3tayat chefthom!!!
bach tafhamni jarrab biddik :
montrer a_0 <=a_1 !!!!
mayemkench nbaynoha bhadok lmo3tayat!!!

mazal mabanche lia finahowa mochkil, c est tres tres elementaire:

a_1-a_0 = a_1-(a_1-a2+a3-...+a_(2n+1))
= a_2-a3+a_4-a5+...+a_2n-a_(2n+1)
= (a_2-a_3)+(a_4-a5)+....+(a_(2n)-a_(2n+1))
or
a_2>=a_3
a_4>=a_5
...
a_(2n)>=a_(2n+1)

alors a_1-a_0>= 0