olympiade mathematique marocaine2001

On a:
P(2x)/P(x)=(8x-8)/(x-8)
Il existe un réel k non nul tel que:
P(2x)=k(8x-8)
P(x)=k(x-8)
D'ou:
P(2x)=k(8x-8)
P(2x)=k(2x-8)
Alors:
P(2x)=k(8x-8)=k(2x-8)
<==>8xk-8k=2xk-8k
<==>8xk=2xk
<==>6xk=0
==>k=0
Donc:
P(x)=0

non! non! non! pas du tout Mr "Syba" votre reponse est fausse!
on travaille ici sur des polynomes !!!

non ce n'est pas les polynomes nuls sont les seuls qui peuvent satisfaire l'énoncé !!!
reflechi bien mazyane !!!

(x-8 )P(2x)=8 (x-1)P(x)

(1-8 ) P(2)=0 ==> P(2)=0 de même P( 8 )=0
P(2)=0==>P(4)=0
ainsi de suite P(2^n)=0 pour n>0 ==> P est constant
Mais (x-8 )P=8 (x-1)P => P=0

non Mr"abdelbaki.attioui" raka tsayadti !!!
3awad fakkar meziyane et je suis sur que vous allez trouver la reponse càd toutes les polynomes P qui verifient : (x-8 )P(2x)=8 (x-1)P(x) pour tout x reè.l

younesmath2012 a écrit:

non Mr"abdelbaki.attioui" raka tsayadti !!!
3awad fakkar meziyane et je suis sur que vous allez trouver la reponse càd toutes les polynomes P qui verifient : (x-8 )P(2x)=8 (x-1)P(x) pour tout x reè.l

Je suis sur que matsaydch.

donc attend ma reponse bach ta3raf!!!
je donnerer 3jours au membres pour reflechir puis je posterai la solution !!!

(x-8 )P(2x)=8 (x-1)P(x)

x-8 edt premier avec x-1 ==> x-8 divisa P==> P=(x-8)Q
==> (x-4)Q(2x)=4(x-1)Q(x)
De même Q(x)=(x-4)R(x)
==> (x-2)R(2x)=2(x-1)R(x)
De même R(x)=(x-2)S(x)
==> (x-1)S(2x)=(x-1)S(x)
==> S=constante a
==> R(x)=a(x-2)
==>Q(x)=a(x-2)(x-4)
==> P(x)=a(x-2)(x-4)(x-8 )

Tsayadt ici P(16)=0

votre resultat est juste mais votre demonstration n'est pas rigoureuse
il ya un (driblage) lorsque vous ecrivez ''==> S=constante a''
mais comme meme bravo 3lik vous avez trouvé la solution!!!

Cet exercice me rappelle de bons souvenirs:

- On peut procéder de deux façons différentes:

1) avec les racines: si P(a)= 0 alors il existe Q tel que P(x) = (X-a)*Q(x) et il suffit ensuite de remplacer dans l équation. (en remarquant que P(2)=0 et P(8 )=0...)

2) en utilisant le coefficient dominant: si P n est pas le polynome nul alors a_n"#0 et il suffit de projeter l equation sur X^(n+1) cela donne:

a_n*2^n=8*a_n et donc n=3 il suffit alors de remplacer dans l equation initiale pour trouver les autres coefficients. (on peut accelerer les calculs en remarquant que P(2) = 0 et P(8 )=0...

Généralement, il faut toujours penser aux racines + coefficient dominant quand on étudie les polynômes...

c'est ça !!! Bravo Mr"bel_jad5" la solution donc est complete !!!