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 Olympiade mathématique de Leningrad.

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elhor_abdelali
pilot_aziz
thomas
mathman
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mathman
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MessageSujet: Olympiade mathématique de Leningrad.   Olympiade mathématique de Leningrad. EmptyJeu 13 Juil 2006, 21:48

Une fonction continue f:R -> R satisfait l'égalité f(x + f(x)) = f(x) pour tout réel x.
Prouver que f est constante.
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thomas
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MessageSujet: Re: Olympiade mathématique de Leningrad.   Olympiade mathématique de Leningrad. EmptyJeu 13 Juil 2006, 22:40

Bonsoir, c'est de quel niveau Question
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pilot_aziz
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MessageSujet: Re: Olympiade mathématique de Leningrad.   Olympiade mathématique de Leningrad. EmptyVen 14 Juil 2006, 02:07

on pose g(x)=x+f(x)
f(x1 + f(x1)) = f(x1)
on pose x1=g(x2)
f(x2)=f(x2+f(x2)+f(x2+f(x2))=f(x2+2f(x2))
on pose x2=g(x3)
....
..etc
....
f(xn)=f(xn+nf(xn)) quelque soit n.
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elhor_abdelali
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elhor_abdelali


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MessageSujet: Re: Olympiade mathématique de Leningrad.   Olympiade mathématique de Leningrad. EmptyMar 25 Juil 2006, 17:07

Bonjour;

Like a Star @ heaven Notons I l'application identique de R , g = I+f  et h = I-f
il est facile de vérifier que  hog = I  et  que h = 2I - g
g est donc injective et comme elle est continue elle est strictement monotone
g ne peut être décroissante car alors h serait croissante et par suite hog=I serait décroissante  Exclamation
il est aussi facile (par l'absurde) de voir que g tend vers +oo en +oo et vers -oo en -oo
et par conséquent, g est un homéomorphisme croissant de R vers lui même (h=g^(-1))

Like a Star @ heaven Pour x et y réels distincts notons m(x,y)=(g(x)-g(y))/(x-y) >0  
on vérifie facilement que  m(x,y)=1/(2-m(g(x),g(y))=2-1/m(h(x),h(y))
et donc que 1/2<m(x,y)<2 la partie A = {m(x,y) / x#y } est donc bornée
ses bornes inférieure m et supérieure M vérifient : m<=2-1/m   et   M>=1(2-M)  et donc m=M=1

et ainsi g est une translation de IR.   farao  sauf erreur bien entendu


Dernière édition par elhor_abdelali le Lun 15 Fév 2016, 20:29, édité 1 fois
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chouchou
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MessageSujet: Re: Olympiade mathématique de Leningrad.   Olympiade mathématique de Leningrad. EmptyMar 25 Juil 2006, 23:22

silent
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pco
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MessageSujet: Re: Olympiade mathématique de Leningrad.   Olympiade mathématique de Leningrad. EmptyMer 26 Juil 2006, 07:44

Bonjour,

A elhor_abdelali : j'ai lu avec attention ta démo. Elle est parfaitement correcte. Bravo !

--
Patrick
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elhor_abdelali
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elhor_abdelali


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MessageSujet: Re: Olympiade mathématique de Leningrad.   Olympiade mathématique de Leningrad. EmptyMer 26 Juil 2006, 14:56

Bonjour;
Merci pco , j'aurai aimé que mathman précise le niveau de cet exercice
car je doute qu'un bon élève de terminale sciences mathématiques puisse le résoudre farao (sauf erreur)
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pco
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MessageSujet: Re: Olympiade mathématique de Leningrad.   Olympiade mathématique de Leningrad. EmptyMer 26 Juil 2006, 15:54

Bjr,

Je suis assez d'accord.
Je ne sais pas d'où mathman les sort, mais ils semblent très souvent largement au dessus du niveau classique (ceci dit, on est dans la rubrique olympiades et cela nécessite souvent de sortir de la tournure d'esprit purement scolaire).

Cela dit, je me régale sur ses problèmes.

Seul point : il y a des problèmes sur lesquels tout le monde a l'air de sécher et il serait intéressant d'avoir la solution au bout d'un moment.

--
patrick
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mathman
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MessageSujet: Re: Olympiade mathématique de Leningrad.   Olympiade mathématique de Leningrad. EmptyMer 26 Juil 2006, 17:01

Salut Elhor et pco,

effectivement, les problèmes que je propose peuvent parfois considérés comme difficiles même pour quelqu'un s'entraînant pour les olympiades, mais je les poste ici parce que je les trouve intéressant, et ne me soucie pas vraiment du niveau de difficulté.

Pour ce problème en particulier (cf. la source), lire par exemple ceci : http://www.mathpropress.com/books/LMO/LMOforeword.html .

Quant aux problèmes non-résolus, il y en avait un bon paquet (je parle ici pour ceux qui n'avaient pas été postés par moi), et je crois qu'ils sont maintenant quasiment tous résolus. Il est vrai que la majeure partie des problèmes de la section "Olympiades" qui restent sans réponse sont les miens. Déjà, il y en a 4 ou 5 que je n'ai moi-même pas résolus, et d'autre part, si quelqu'un est vraiment intéressé par un problème, mais qu'il n'arrive pas à le résoudre, et donc qu'il veut un indice/une solution, qu'il le dise dans le topic du problème en question. Smile
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bel_jad5
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MessageSujet: Re: Olympiade mathématique de Leningrad.   Olympiade mathématique de Leningrad. EmptyJeu 27 Juil 2006, 15:10

une solution :
on note g_n la composée n eme de g
on pose g=I+f : f(g(x))=f(x) d ou f(g_n(x))=f(x)
g_n(x)=g(g_(n-1))=g_(n-1)+f(g_(n-1)) = g_(n-1)+f(x)
g_n(x)=g_(n-1)+f(x)
d ou g_n(x)=x+n*f(x)
f(x)=f(x+n*f(x))
si f(x)>0 alors f(x) = lim_(x tend vers +infini) f(x)=constante
si f(x)<0 alors f(x) = lim_(x tend vers -infini) f(x)=constante
donc f prend au plus trois valeurs , puisqu elle est continue alors f est constante
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pco
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MessageSujet: Re: Olympiade mathématique de Leningrad.   Olympiade mathématique de Leningrad. EmptyJeu 27 Juil 2006, 17:17

Bonjour,

bel_jad5 a écrit:
f(x)=f(x+n*f(x))
si f(x)>0 alors f(x) = lim_(x tend vers +infini) f(x)=constante
si f(x)<0 alors f(x) = lim_(x tend vers -infini) f(x)=constante
donc f prend au plus trois valeurs , puisqu elle est continue alors f est constante

Je suis désolé, mais c'est faux.
la continuité de f n'implique pas qu'elle ait une limite à l'infini. Elle peut très bien même être bornée et ne pas avoir de limite.

On ne peut donc écrire lim_(x tend vers +infini) f(x)=constante .

J'ai beaucoup tourné autour de cette équation sans aboutir et la seule démo rigoureuse pour l'instant me semble être celle de elhor_abdelali .

--
Patrick
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bel_jad5
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MessageSujet: Re: Olympiade mathématique de Leningrad.   Olympiade mathématique de Leningrad. EmptyJeu 27 Juil 2006, 17:47

c vrai , j ai pas fai attention ...j ai fai cette "pseudosolution" à l arache , je l ai même pas relu ,..merci bcp pr la remarque
amicalment ( je v essayer de la corriger après a+ )
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elhor_abdelali
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MessageSujet: Re: Olympiade mathématique de Leningrad.   Olympiade mathématique de Leningrad. EmptyMar 27 Avr 2010, 22:18

voir aussi http://www.mathsland.com/Forum/lire-message.php?forum=5&identifiant=e25911108716782ca5ef03cea603c971 farao
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MessageSujet: Re: Olympiade mathématique de Leningrad.   Olympiade mathématique de Leningrad. EmptySam 11 Mai 2019, 06:49

Je viens de voir que le lien que j'ai indiqué ci-dessus n'est plus disponible sur le net ! scratch
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MessageSujet: Suggestion   Olympiade mathématique de Leningrad. EmptyDim 19 Mai 2019, 11:19

"[...]g = I+f et h = I-f
il est facile de vérifier que hog = I et que h = 2I - g
g est donc injective et comme elle est continue elle est strictement monotone
g ne peut être décroissante car alors h serait croissante et par suite hog=I serait décroissante."
En ce qui concerne la dernière proposition, g et h seraient de même monotonie parce que 1=h'(y).g'(h(y)) =1 dans le cas dérivable, et les courbes des deux fonctions sont symétriques par rapport à la ligne médiane y =x. Mais ne serait-il pas possible de considérer les valeurs absolues des taux de variation de signe constant?
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MessageSujet: Re: Olympiade mathématique de Leningrad.   Olympiade mathématique de Leningrad. EmptySam 27 Mar 2021, 03:22

Citation :
En ce qui concerne la dernière proposition, g et h seraient de même monotonie parce que 1=h'(y).g'(h(y)) =1 dans le cas dérivable, et les courbes des deux fonctions sont symétriques par rapport à la ligne médiane y =x. Mais ne serait-il pas possible de considérer les valeurs absolues des taux de variation de signe constant?


Bonjour nail ,

Like a Star @ heaven  à priori l'énoncé proposé par mathman (que je salue) ne comporte aucune hypothèse de dérivabilité.

Like a Star @ heaven  comme à ce stade de la résolution on n'a pas encore prouvé que h = g^(-1) (vu que la relation hog=I ne permet pas à elle seule de l'affirmer) ,

on ne peut pas dire que les courbes des deux fonctions sont symétriques par rapport à la ligne médiane y =x.

Like a Star @ heaven si on considère les valeurs absolues des taux de variation de signe constant comme tu proposes on risque de perdre les identités :

m(x,y) = 1/(2-m(g(x),g(y)) = 2-1/m(h(x),h(y))  qui m'étaient indispensables pour conclure  farao
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MessageSujet: Re: Olympiade mathématique de Leningrad.   Olympiade mathématique de Leningrad. EmptyLun 29 Mar 2021, 11:57

Malgré que je croyais que le résultat sur la monotonie de g n'était pas correct, je voudrais faire une remarque sur l'achèvement, car les inégalités en m et en M qui sont déduites des deux relations entre m(x,y), m(g(x),g(y)) et m(h(x),h(y)) sont 1 /{2 -m} =< m et M =< 2 -1 /M. Merci.
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MessageSujet: Re: Olympiade mathématique de Leningrad.   Olympiade mathématique de Leningrad. EmptyLun 29 Mar 2021, 20:11

OK nail je développe ce point :

en utilisant la caractérisation séquentielle de la borne inf , on a l'existence d'une suite (an,bn) telle que

m(an,bn) ---> m  

et comme :

m(g(an),g(bn)) = 2 - 1/m(an,bn)

on voit que :

m(g(an),g(bn))  ---> 2 - 1/m

et comme pour tout n on a :

m =< m(g(an),g(bn))

par passage à la limite on a :

m =< 2 - 1/m farao sauf erreur bien entendu
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MessageSujet: Re: Olympiade mathématique de Leningrad.   Olympiade mathématique de Leningrad. EmptyLun 29 Mar 2021, 20:19

De même on l'existence d'une suite (cn,dn) telle que

(cn,dn) ---> M

et comme :

m(h(cn),h(dn)) = 1/(2 - m(cn,dn))

on voit que :

m(h(cn),h(dn)) ---> 1/(2 - M)

et comme on a pour tout n :

m(h(cn),h(dn)) =< M

on a par passage à la limite :

1/(2 - M) =< M farao sauf erreur bien entendu
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MessageSujet: Re: Olympiade mathématique de Leningrad.   Olympiade mathématique de Leningrad. EmptyLun 29 Mar 2021, 23:00

Citation :
(cn,dn) ---> M

lire plutôt : m(cn,dn) ---> M  queen
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MessageSujet: Re: Olympiade mathématique de Leningrad.   Olympiade mathématique de Leningrad. EmptyJeu 01 Avr 2021, 19:10

2g = gog +I, tel que g est croissante, donc gog aussi, implique que 2g(x) > gog(0)+x pour tout x>0 et 2g(x) < gog(0) +x, d'où les limites de g.
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MessageSujet: Re: Olympiade mathématique de Leningrad.   Olympiade mathématique de Leningrad. EmptyJeu 01 Avr 2021, 20:15

... < gog(0) +x [si x <0],..
Aussi {m(x,y) = 2 -1 /m(h(x),h(y)) =< 2 -1 /M =>> M =< 2 -1 /M car M est le plus petit majorant des éléments de A} est envisageable. Salam
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MessageSujet: Re: Olympiade mathématique de Leningrad.   Olympiade mathématique de Leningrad. EmptyMer 28 Avr 2021, 00:13

nail a écrit:
Aussi {m(x,y) = 2 -1 /m(h(x),h(y)) =< 2 -1 /M =>> M =< 2 -1 /M car M est le plus petit majorant des éléments de A} est envisageable

Oui nail , et c'est justement de tels arguments qui donnent les égalités :

m = 2 - 1/m  et M = 1/(2 - M) d'où la conclusion  m = M = 1 farao sauf erreur bien entendu
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