continuité et dérivée

montrer que ;
si f est dérivée à x0 donc f est continuité à x0

Utiliser la définition de la dérivation.

bonjour.
donne moi s'il vout plait la définion de la dérivation

Supposons que f est dérivable en a, et montrons qu'elle est continue en a.
On dit qu'une fonction f définie sur I, est dérivable en a, s'il existe un réel A tel que pour tous réels h tel que a+h appartenant à I: f(a+h)=f(a)+A.h+h.g(h) , avec lim g(h)=0 quand h tend vers 0.
On pose: x-a=h , donc: x = a+h
Lim f(x) =
x->a
Lim f(a+h) =
h->0
Lim f(a)+A.h+h.g(h) =
h->0
f(a)
==> f est continue en a.

merci;mais je ne comprends pas bien
pourquoi f(a+h)=f(a)+A.h+h.g(h)
pourquoi limg(h)=0

f(a+h)=f(a)+A.h+h.g(h) <==> [f(a+h)-f(a)]/h = A + g(h)
En passant aux limites. on obtient:
Lim [f(a+h)-f(a)]/h = A
h->0
C'est la définition de la dérivation...

merci; je comprends lim(f(a+h)-f(a))/h=A
mais pourquoi (f(a+h)-f(a))/h=A+g(h)

merci; je comprends lim(f(a+h)-f(a))/h=A
mais pourquoi tu pose (f(a+h)-f(a))/h=A+g(h)

Qu'est-ce que ça veut dire A et h

Bonjour ,

Autre méthode:

Supposons que f est dérivable en xo , donc (f(x)-f(xo))/(x-xo) a pour limite un nombre réel b quand x tend vers xo.
Or f(x)=(x-xo).(f(x)-f(xo))/(x-xo) + f(xo), donc f(x) a pour limite 0.b+f(xo)= f(xo) quand x tend vers xo. Donc f est continue en xo.

je comprends ; merci
mais comment tu as trouvé f(x)=(x-x0)(f(x)-f(x0))/(x-x0)+f(x0)

Bonjour ,

On a : f(x)=(f(x)-f(xo)) + f(xo) .

Pour pouvoir utiliser la dérivabilité de f en xo dans le calcul de la limite de f(x) quand x tend vers xo à partir de l'expression précédente de f(x) , il est nécessaire de diviser et multiplier simultanément (f(x)-f(xo)) par (x-xo) ; ce qui donne f(x)=(x-xo).(f(x)-f(xo))/(x-xo) + f(xo) .

merci mon ami