Equation dans Z²

trouver tous les couples (x,y) dans Z² qui vérifient l’équation suivante :

soit (x,y) une solution
si y=0 ==> x=1
si y=1 ==> x(x²-1)=0 ==> x dans {-1,0,1}
Donc, (0,1) , (1,1) , (-1,1) , (1,0) sont solutions

si y#0 et y#1 alors x#0 et x#1 et x#y
Bézout ==> x^y=1 ( x et y premiers entre eux)
==>x^(x-y)=1 et x^(x+y)=1 ===> x^(x²-y²)=1
mais x(x²-y²)=(1-y)(1+y+y²) (*)
==> 1-y divise x ou 1-y divise x²-y²

(x-1)(1+x+x²)=y²(x-y)
==> x-1 divise y² ou x-1 divise x-y

==> 1-y=x
==> x=4 et y=-3

pouvez vous m expliquer bezout svp?

parceque je n ai pas compris quelle est la relation entre ax+by=PGDC(x,y) (c est ça bezout non?) ou encore le nombre d intersections entre 2 courbees (theoreme de Bezout), et x^y =1

s'il ya plusieurs bezout, veuillez me le dire
et si quelqu'un aurait la gentillesse de m'expliquer, je lui en serais redevable

^^

En fait: si x^y=1 (x^y c'est PGCD(x,y))
il existe a et b appartenant à Z, tel que ax+by=1
Et plus généralement (ceci est etudié en deuxieme année bac je crois)
si x^y=n <==> il existe a et b de Z tel que ax+by=n
C'est ça le théorème de Bezout ( en fait je crois!!!)

elidrissi a écrit:

pouvez vous m expliquer bezout svp?

parceque je n ai pas compris quelle est la relation entre ax+by=PGDC(x,y) (c est ça bezout non?) ou encore le nombre d intersections entre 2 courbees (theoreme de Bezout), et x^y =1

s'il ya plusieurs bezout, veuillez me le dire
et si quelqu'un aurait la gentillesse de m'expliquer, je lui en serais redevable

^^

(x²-y²)x+y².y=1=ax+by avec a=x²-y² et b=y² dans Z ==> par Bézout x^y=1

ahhh oki merci, jai cru que x^y voulait dire x puissance y

dsl, ma faute

abdelbaki.attioui a écrit:

==> 1-y=x
==> x=4 et y=-3

Mr Attioui , pouvez vous détaillé ce qui est en rouge ? , Merci .

abdelbaki.attioui a écrit:

soit (x,y) une solution
si y=0 ==> x=1
si y=1 ==> x(x²-1)=0 ==> x dans {-1,0,1}
Donc, (0,1) , (1,1) , (-1,1) , (1,0) sont solutions

si y#0 et y#1 alors x#0 et x#1 et x#y
Bézout ==> x^y=1 ( x et y premiers entre eux)
==>x^(x-y)=1 et x^(x+y)=1 ===> x^(x²-y²)=1
mais x(x²-y²)=(1-y)(1+y+y²) (*)
==> 1-y divise x ou 1-y divise x²-y²

(x-1)(1+x+x²)=y²(x-y)
==> x-1 divise y² ou x-1 divise x-y

==> 1-y=x
==> x=4 et y=-3

Ce que j'ai souligné en rouge n'est pas toujours vrai