la serie de terme generale une suite geometrique

slt les amis m
svp pouvez vous mexpliquer prq la serie de terme generale une suite geometrique est convergente si la valeur absolue de la raison de la suite geometrique est inferieur a 1
et divergente si la la valeur absolue de la raison de la suite geometrique est sup a 1
merci davance

Mon Bonsoir !!

De Passage , j'ai intercepté ton appel .....
C'est vrai aussi lorsque la raison est dans C , remplacer alors "valeur absolue" par "module"

Traitons ta Question ....
Si r est dans IR , alors :

1) Si r=1 on a :
Sn=1+r+r^2+ ..... + r^(n-1) = n et là Lim Sn = +oo ; la Série diverge ...
2) Si r<>1 alors , on peut écrire
Sn=1+r+r^2+ ..... + r^(n-1)= {r^n -1}/(r-1)

Concentrons nous maintenant sur la suite (r^n)n
Le cas r=0 étant trivial , on supposera r<>0
On peut toujours écrire 0 <|r^n| <= |r|^n
Si |r| <1 la suite (|r|^n)n est strictement décroissante , minorée par 0 donc converge et puisque Ln(|r|^n) = n.Ln(|r|) ----- > -oo quand n ----> +oo donc Lim(r^n) vaut 0 quand n ----> +oo
par le Théorème des Gendarmes .
Et ta Série est bien convergente vers 1/(1-r)

Si |r|>1 , on a deux situations assez faciles à explorer ...

a) r>1 alors c'est facile , on a Lim (r^n) =+oo
en effet on pourra écrire r=1+ t avec t réel et t>0 et là , on utilise l'Inégalité de Bernouilli
r^n=(1+t)^n >= 1+(n.t) et tu peux conclure ..

b) r<-1 alors les deux suites extraites de (r^n)n à savoir (r^(2n))n et (r^(2n+1))n sont l'une et l'autre divergente vers +oo( pour la 1ère ) et -oo ( pour la 2ème )

Et dans chacun des deux cas a) ou b) ta Série diverge .

Amicalement . LHASSANE

merci bcp pour votre aide
mais svp pouvez m expliquer ce passage la
et puisque Ln(|r|^n) = n.Ln(|r|) ----- > -oo quand n ----> +oo donc Lim(r^n) vaut 0 quand n ----> +oo

Mon Bonjour !!

J'ai écrit ceci :
<< On peut toujours écrire 0 <|r^n| <= |r|^n
Si |r| <1 la suite (|r|^n)n est strictement décroissante , minorée par 0 donc converge et puisque Ln(|r|^n) = n.Ln(|r|) ----- > -oo quand n ----> +oo donc Lim(r^n) vaut 0 quand n ----> +oo
par le Théorème des Gendarmes . >>

Quand n ----> +oo , Ln(|r|^n)=n.Ln(|r|) ----------> -oo
parce que Ln(|r|) <0 car 0<|r|<1
Donc |r|^n -----> 0+ quand n -----> +oo parce que Lim Ln(x) =-oo quand x-----> 0+
C'est la continuité de la fonction Ln(.)

Comme on a l'encadrement 0 <|r^n| <= |r|^n pour tout entier naturel n >=1
Le Théorème des Gendarmes permet de conclure que
Lim r^n =0 quand n ----> +oo

Sa Te vas comme ssa ??!!! Amicalement . LHASSANE

merci bcccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc

De Rien Mlle