exercice de calcul integral

calculer :
intégrale : (1 à 3) (ln(1+x)/x²) dx
et
intégrale : (0 à 1) ln(x+sqrt(x²+1) dx
et merci

1) On pose: u=ln(1+x) , v'=1/x² , donc: u'=1/(x+1) , v=-1/x
I_1 = [-ln(1+x)/x] - int( -1/(x²+x) dx )
I_1 = [-ln(4)/3+ln(2)] + int( 1/(x+1)-1/(x) dx )
I_1 = [-ln(4)/3+ln(2)] + [ln(x+1)-ln(x)]
I_1 = [-ln(4)/3+ln(2)] + [ln(4)-ln(3)-ln(2)]
I_1 = (2/3)ln(4) - ln(3)

merci , et la question 2?

Bonjour,

Indication pour la question 2:

Effectuer une intégration par parties en posant f(x)=ln(x+sqrt(x^2+1)) et g'(x)=1

est ce que tu m'explique s'il vous plait

On cherche plus généralement une primitive.

par intégration par partie en posant :

f = log(sqrt(x^2+1)+x), dg = dx,
df = 1/sqrt(x^2+1) dx , g = x,

On trouve I== x log(sqrt(x^2+1)+x)- int_0^1 x/sqrt(x^2+1) dx

Soit J = int_0^1 x/sqrt(x^2+1) dx.

On fait la sibtitution u = x^2+1 et alors du = 2 x dx,

J=1/2 integral 1/sqrt(u) du=sqrt(u).

finalement I=| = x log(sqrt(x^2+1)+x)-sqrt(x^2+1)+constant.