Divisibilité !

Bonsoir,

Montrer que si: a² divise b² alors a divise b, avec a et b des entiers naturels non nuls.

Pour moi, j'ai décomposé b² en facteurs premiers, on a: a²/b² donc il existe un entier k tel que b²=k.a², mais puisque b² est un carré, alors tous les exposants de sa décomposition en facteurs premiers sont des mombres pairs, d'ou l'existence d'un entier p tel que k=p², ainsi b=p.a, donc a/b. Merci de me corriger !

De façon plus générale, montrons que si a^n|b^n, pour n entier >, alors a|b.

On décompose en facteur premier a et b de la façon suivante :




dans le cas ou un facteur premier parmi les p_n n'apparaît pas dans la factorisation de l'un des deux entiers, on met son exposant à 0.





puisque a^n|b^n, alors pour tout i, et par suite , d'ou la conclusion.

ok merci

Bonsoir,

Autre méthode:

a^2 divise b^2 , donc PGCD(a^2,b^2)=a^2 , donc (PGCD(a,b))^2=a^2.

Donc PGCD(a,b)=a , par suite a divise b .

merci egalement

De rien.


Bonne journée.