exo facile (arithmétiques)

soit P un nombre premier
1) montrez que pour tout x de [1;P-1] : P/C de x parmi P
C=la combinaison de x parmi P) (P!/x!(p-x)!) ok
2) déduire que pour tout n de IN : (n+1)^P = n^P +1[P]
3) prouvez par récurence que pour tout n de IN : n^P=n[P]
4)déduire que pour tout a £ Z : a^P=a[P]

1) Il suffit de remarquer que: p*(C(x-1) parmis (p-1))=x*(C(k parmis p), et donc p / x*(C(x parmis p), or: p et x sont premiers entre eux puisque p est premier et k<p, d'apres GAUSS p /C(x parmis p).

2) Utiliser le binome de Newton, en séparant les termes: 0, puis p, puis sigma de 1 jusqu'à p-1, et en déduire le résultat depuis 1).

3) Récurrence directe en utilisant le résultat 2).

4) Disjonction des cas, a positif d'après 2), a négatif(2 cas: p=2 ou p=2k+1).

4-
on applique 3) à n=|a| ==> |a|^P=|a|[P]

si a>0 ==> a^P=a[P]

si a<0 ==> (-a)^P=-a[P]
==> a^P=(-1)^(P+1) a[P]
si p impair ==> a^P= a[P]
si p pair ==> p=2 et on a toujours 2 divise a(a-1) ==> a^2=a[2]