l'intégrale(joli exo)

F(n)=intégrale(0--->1)x^n.racine(1-x)dx
avec l'intégration par parties montrez que (2n+5)F(n+1)=(2n+2)F(n)

bah....puisque personne n'a pas poster la solution voila donc
F(n+1)=intégrale(0--->1)x^n.racine(1-x)dx
= intégrale(0--->1)x^(n+1).racine(1-x)dx
=(-2/3)intégrale(0--->1)x^(n+1).(racine((1-x)^(3))) ' dx
intégration par parties donne :
F(n+1)=(2(n+1)/3) intégrale(0--->1)x^(n).racine((1-x)^(3)) dx
=(2(n+1)/3) intégrale(0--->1) x^(n).(1-x).racine(1-x)dx
=(2(n+1)/3) intégrale(0->1)(x^(n).racine((1-x)-x^(n+1)racine(1-x))dx
=(2(n+1)/3) ( intégrale(0->1)(x^(n).racine((1-x)dx - intégrale(0->1)x^(n+1)racine(1-x))dx)=(2(n+1)/3)(F(n)-F(n+1))
donc F(n+1)=(2(n+1)/3)(F(n)-F(n+1)) donc : (2n+5)F(n+1)=(2n+2)F(n)

Bonsoir:
F(n+1) = Int[x^(n+1)*rac(1-x)]
On pose: u= x^(n+1) , v'=rac(1-x). D'ou: u'=(n+1)*x^(n) , v=(-2/3)*(1-x)^(3/2).
F(n+1)=[uv]+(2/3)(n+1).Int[x^(n)*(1-x)*rac(1-x)]
F(n+1)=[uv]+(2/3)(n+1).Int[x^(n)*rac(1-x)-x^(n+1)*rac(1-x)]
F(n+1)=[uv]+(2/3)(n+1)*[F(n)-F(n+1)]
Conclure

good Mr Syba