Une enquête fonctionnelle !

Bonjour ,

on cherche toutes les fonctions f : IR ---> IR vérifiant f(x + 2f(y)) = f(x) + y + f(y) pour tous réels x et y bonne enquête !

Et alors

Il y a t il des hypothese de continuite ou de derivabilite ?

P(x,y): f(x + 2f(y)) = f(x) + y + f(y)

si f(y)=0 ==> y=0

P(y-2f(y),y): f(y) = f(y-2f(y)) + y + f(y) ===> f(y-2f(y)) =-y
===> f(-y-2f(-y)) =y (1) . f surjective
pour y=0 ==> f(-2f(0))=0 ==> f(0)=0

P(y,y): f(y + 2f(y)) = y + 2f(y) (2)
si f(x)=f(y)
P(x,y): f(x + 2f(x)) = y +2f(y) =x + 2f(x) ==> x=y . f injective

Donc f bijective soit g sa réciproque alors g(y)= -y-2f(-y) d'après (1)
(2) signifie que pour tout y, y+2f(y) est un point fixe de f

P(-f(x),x): f(f(x)) =f(-f(x)) + x + f(x) (3)
P(x,-f(x)): f(x+2f(-f(x))= f(-f(x)) ==> x+2f(-f(x))=-f(x) (4)
P(-2f(x),x): 0= f(-2f(x))+x+f(x) (5)
(3) , (4) et (5)==> 2f(f(x))=x+f(x)=-f(-2f(x)) ==> -2f(y)=f(-2y) qqs y (6)

P(0,x) : f(2f(x))=x+f(x)=-2f(f(-x))=-2f(-f(x)) par (4) et (6) ==> f(-x)=-f(x) f imapire
(6) ==> 2f(x)=f(2x) qqs x , g(x)=-x+2f(x) et x=f(-x+2f(x)) (7)
(3) ==> 2f(f(x))=x+f(x) (8 )

P(x,g(y/2)): f(x+y)=f(x)+g(y)/2+y/2=f(x)+f(y) par (6) et (7) ( Eq de Cauchy)
==> f(rx)=rf(x) qqs x et r dans Q

Donc
P(x,y) <==> (8 ) + Eq de Cauchy <==> (7 ) + Eq de Cauchy <==>(2)+ Eq de Cauchy

Quelques démarches:
1) R vu comme Q-ev , f est alors un endomorphisme de R et 2X²-X-1 de Q[X] est un polynôme
annulateur de f. R est de dimension infinie !!! ( en général, spectre de f contient strictement les valeurs propres)

2) x et f(x) de même signe?

3) Suite linéaire d'ordre 2

4) f minorée ou majorée sur [0,1]

....

galillee56 >> aucune hypothèse de continuité ou de dérivabilité .

abdelbaki.attioui >> effectivement l'équation est équivalente à :

i) f endomorphisme de IR en tant que IQ - espace vectoriel .

et

ii) f o (I + 2f) = I + 2f , où I désigne l'identité de IR .

ce qui est équivalent à dire que s = (4f - I)/3 est une symétrie vectorielle de IR en tant que IQ - espace vectoriel .

Notre équation admet donc une infinité de solutions f = (3s + I)/4 suivant le choix de s sauf erreur bien entendu