- abdelbaki.attioui a écrit:
- 1) soit f :R--->R dérivable
Montrer que si f admet un minimum local qui est non global alors f admet au moins un maximum local
C'est un résultat que j'ai aimé. Et voici ma tentative:
L'hypothèse se traduit par l'existence d'un certain a tel que f'(a)=0.
Si f' ne s'annule pas encore une autre fois, elle va garder un signe constant.
Cela veut dire que fa sera un minimum global pour la fonction f, et cela vient en contradiction avec l'hypothèse.
Donc, il existe un autre point b, pour lequel on ait f'(b)=0.
---Deux cas se présentent:
*Ou bien, f admet un maximum local en b, et b répond à la question proposée.
*Ou bien, f admet un minimum local en b, et pour conclure on suppose sans nuire à la généralité que a<b.
Sur l'intervalle [a,b], f est continue car elle est dérivable. Elle atteint donc ses bornes, en particulier il existe un point c de l’intervalle [a,b] tel que f(c) est maximale, autrement dit f un maximum local en c.
---On en conclût que f admet un maximum local dans les deux cas.
CQFD.
Sauf erreurs.
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