3eme tour local

Voici lolym dnot lycée , 3ème tour :

Exo1
a,b,c,x,y,z sont strictement positifs
demontrer (ax+by+cz)(a/x+b/y+b/z) sup ou egal (a+b+c)²

Exo2
F fonction dans R* tel que f(x)=(x²+1)(1+ 1/x²)(1 + 1/x^4)-8/x²
determiner le signe de f(x) selon chaque x dans R*

Exo3
ABC triangle
demontrer que BC=ACcos(c)+ABcos(b)
deduire que sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC


Me manque le deuxième

Salut pour le 1er exo c'est facile
faut montrer que:(ax+by+cz)(a/x+b/y+c/z)>=(a+b+c)²
donc : a²+b²+c²+ab(x/y+y/x)+ac(x/z+z/x)+bc(y/z+z/y)>=a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)
alors : ab(x/y+y/x)+ac(x/z+z/x)+bc(y/z+z/y)>=2(ab+bc+ca)
ab(x/y+y/x)>=2ab
ac(x/z+z/x)>=2ac
bc(y/z+z/y)>=2bc
avec les somme on aura le réslutat voulu

banal même !

Le 3eme est tout aussi facile , mais le second qui est sur 10 pts l'est moins

bsr
pour le deuxieme c pas grande chose:
f(x)=(x²+1)(1+ 1/x²)(1 + 1/x^4)-8/x²
f(x)=(x²+1)((x²+1)/x²)(1+1/x^4)-8/x²
f(x)=((x²+1)²/x²). (1+1/x^4)-8/x²
f(x)=1/x²[(x²+1)²(1+1/x^4)-8]
pour 1/x² il est tjs positif
(x²+1)²(1+1/x^4)=(x^4+2x²+1)(1+1/x^4)-8=x^4+1+2x²+2/x²+1+1/x^4
(x²+1)²(1+1/x^4)=2+x^4+1/x^4+2(x²+1/x²)
-----------------------------------------------------------
on sait que x^4+1/x^4≥2
et que x²+1/x²≥2
alors x^4+1/x^4+2(x²+1/x²)+2≥2+2x2+2
alors x^4+1/x^4+2(x²+1/x²)+2≥8
d'où (x²+1)²(1+1/x^4)-8≥0
et puisque 1/x²≥0
alors 1/x²[(x²+1)²(1+1/x^4)-8]≥0
alors f(x)≥0
d'où quoi que ça soit x de IR* f(x) est tjs positive
d'où le signe de f(x) est+

Pour le 2eme exo:
f(x)=(x²+1)(1+ 1/x²)(1 + 1/x^4)-8/x²
=(x²+2+1/x²)((1-1/x²)²+2/x²)-8/x²
=((x+1/x)²)((1-1/x²)²+2/x²)-8/x²
=(x+1/x)²(1-1/x²)²+2/x²(x+1/x)²-8/x²
=(x+1/x)²(1-1/x²)²+(2+4/x²+2/x^4-8/x²)
=(x+1/x)²(1-1/x²)²+(2-4/x²+2/x^4)
=(x+1/x)²(1-1/x²)²+2/x²(x²-2+1/x²)
=(x+1/x)²(1-1/x²)²+2/x²(x-1/x)² >=0
donc f(x ) est positive

M**** de p**** tf** had l9***** ********* *******


J'ai fait une faute mémorable !! Au moment de factoriser par 1/x² j'ai aussi diviser 1/x^4 :'(

ouf jé trouvé la solution la VOICI:
f(x)=(x²+1)(1+ 1/x²)(1 + 1/x^4)-8/x²
f(x)=(x²+1)([x²+1]/x²)([x^4+1]/x^4)-8x²
f(x)=(x²+1)²/x².(x^4+1)/x^4-8x^4/x^6
f(x)=1/x^6([x+1]².[x^4+1]-8x^4)
ladayna x²+1>=2x wa x^4+1>=2x²
(x²+1)²>=4x²
idan : (x²+1)².(x^4+1)-8x^4>=0
1/x^6>= 0 (alloss zawji)
waminho
f(x)>=0

votre olympiade mr est tropp facile

dsl jé po vu votre soluiton car au moment ou jécrivé vs avez postez car jécris un peu lourd est ya bcp de signe dans la solution comme les () et les []
mais kon meme c une otre solution

pour exo2,
x²+1>=2x
1+1/x²>=2/x
1+1/x^4>=2/x²
produit
(x²+1)(1+1/x²)(1+1/x^4)>=8/x² f(x)>=0 for all x£IR*
@+

bravo mathsmaster ta soluiton été la plus courte
mais sans oublier ma solution élété la 2eme f tolle
lol lol