point fixe / ensembles

Bonsoir,

Soit E un ensemble non vide. On définit l'application f (croissante au sens de l'inclusion) de P(E) dans P(E), tel que:
Pour tout A et B de P(E): A (inclus) dans B ==> f(A) (inclus) f(B)
Montrer qu'il existe X de P(E), tel que: f(X)=X. (C-à-d que f admet au moins un point fixe).

M={A C E /  A C f(A)} est non vide car contient la partie vide de E.

Soit X= U A : A dans M ( la réunion des éléments de M}
pour tout A dans M ,  A C X et  A C f(A)
==> A C f(A) C f(X) ==> X C f(X) ==> X dans M
Mais X dans M ==> f(X) dans M ==>  f(X) C X  . Donc  f(X) = X

merci mr attioui!