matrice dans Z/pZ

Soit n>=2 et p un nombre premier montrer qu'il existe une matrice non trigonalisable dans Mn(Z/pZ).
Bonne chance

Remarque et indice:

Spoiler:

Pour un corps K={x_1,..x_r} quelconque,Il suffit de prendre la matrice compagnon du polynôme P=(X-x_1)^(n-r+1)Prod(i=2,..,r)(X-x_i)+1, P n'est pas scindé ( même n'admet aucune racine )donc la matrice est non trigonalisable.

Mehdi.O a écrit:

Pour un corps K={x_1,..x_r} quelconque,Il suffit de prendre la matrice compagnon du polynôme P=(X-x_1)^(n-r+1)Prod(i=2,..,r)(X-x_i)+1, P n'est pas scindé ( même n'admet aucune racine )donc la matrice est non trigonalisable.

oui c'est ce qu'il faut faire pour n>=r mais il faut essayer de changer cette preuve en utilisant toujours des matrices compagnon pour r>n.

Oui en effet, alors pour compléter, on doit trouver un polynome de degré n qui ne soit pas scindé sur Z/pZ, donc par l'absurde si c'est le cas pour tout polynome de degré n, alors c'est le cas pour tout polynome de degré inférieur, en particulier pour les trinômes, donc il suffit de prendre a non résidu quadratique modulo p, le trinôme X²-a n'est pas scindé , d'où le résultat.

bien joue c'est exactement et cette même preuve marche pour un corps quelconque car si K est un corps K* est cyclique et ça nous sauve.

galillee56 a écrit:

bien joue c'est exactement et cette même preuve marche pour un corps quelconque car si K est un corps K* est cyclique et ça nous sauve.  

Oui , là il suffit de prendre a le générateur de K* ( qui est d'ordre (r-1)).