Probleme janvier 2014

Soit f:C--->C une fonction entière injective
( f est une série entière de rayon de convergence +00)
Montrer que f('0)#0 et f^(n)(0)=0 pour tout entier n>1
c-à-d pour tout complexe z, f(z)= f(0)+f'(0)z

la derive d'une fonction entiere injective ne s'annule pas sur C, et apres j'utilise bieberbach
on a donc f est est injective sur tout disque de rayon r>0 donc pour tout n dans N |(f^(n)*r^n/n!|=<n|f'(0)|r
donc |f^(n)/n!|=<n|f'(0)|/r^(n-1) et on fait tendre r vers l'infini donc f^(n)=0 pour tout n dans N n>=2
Ps: le plus dure dans l'exo est de prouver bieberbach je connais une preuve simple pour le cas reel avec des series entiere mais vus que je n'ai pas encore fait de fonction holomorphe je ne sais pas le faire dans le cas complexe si vous connaissez une preuve simple ca m'aiderai merci.

Bonjour mr attioui, vu qu'on est a la fin du mois de janvier pouvez vous si possible publier une solution plus simple de cette exercice assez joli et merci d avance

f(z)=f(0)+f'(0)z+....+f^(n)(0)/n!.z^n+....

si f'(0)=0 ==> f(z)=f(0)+g(z)^k  avec k>1 et g biholomorphe de D(0,r) sur D(0,r')
soit a_1 et a_2  deux racines kéme de l'unité distinctes ( k>1)
il existent z_1 et z_2 distincts dans D(0,r) : g(z_1)=r' a_1 /2 et g(z_2)=r' a_2 /2
==> f(z_1)=f(0)+(r'/2)^k=f(z_2) absurde

L'application h: z--->f(1/z) = f(0)+ f'(0)/z+f"(0)/2z^2+..... est holomorphe sur C* et injective
==> h non prolongeable en une fct holomorphe sur C
==> 0 est un point de singularité non effaçable
==> 0 est un pôle simple
==> f^(n)(0)=0 qqs n>1

joli merci beaucoup mr attioui