abdelbaki.attioui
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 | | Sujet: Probleme mars 2014 Lun 13 Jan 2014, 11:09 | |
| Soit f : C--> C une fonction entière ( série entière de rayon de convergence +00)
telle que |f(z)|=1 si |z|=1.
Montrer que pour tout complexe z, f(z)=a z^n avec |a|=1 et n dans IN
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وقل ربي زد ني علما
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galillee56
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| | Sujet: Re: Probleme mars 2014 Ven 28 Fév 2014, 19:55 | |
| - Spoiler:
idee: qui m'avait echapper au debut est que si on prend f(z)=sum(a_n*z^n,n=0...+inf)
on pose g(z)=sum(bn*z^n,n=0..+inf) avec bn=C(an)(soit conplementaire de an) on a f(z)g(1/z)=1 pour tout z dans U g et f sont holomorphe c vrai sur U donc sur C* donc f n'admet pas de racine sur le disque unite sauf peut etre 0 maintenant c fini on pose f(z)=z^p*h(z),h(0) different de 0 on pose D le disque unite par le principe du max |h(z)|=< 1 pour tout z dans D et |1/h(z)|=<1 donc pour tout z dans D |h(z)|=1 |h(0)|=1 h(z)=sum(cn*z^n,n=0...+inf) en appliquant parseval sum(|ci|^2)=1 et |c0|=|h(0)|=1 donc tout i dans [1,+inf[ ci=0 donc h=c0 d'ou le resultat
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