abdelbaki.attioui
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 | | Sujet: Problème Avril 2014 Dim 30 Mar 2014, 13:58 | |
| Un nombre positif entier n est dit spécial si la somme de tous ses diviseurs propres dépasse n mais n ne peut pas être représenté comme une somme de certains diviseurs de n. montrer qu'il y a une infinité de nombres spéciaux. | |
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galillee56
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| | Sujet: Re: Problème Avril 2014 Dim 30 Mar 2014, 18:43 | |
| - Spoiler:
en gros on devrait prouver qu'il existe une infinite de n tq la sigma(n)=sum(d,pour d/n)>=2n
on raisonne par l'absurde on sait que si n=Produit(pi^ai,i=1...e ,pi premier) alors sigma(n)=produit((pi^(ai+1)-1)/(pi-1)) donc sigma(n)/n=produit((sum(1/pi^k,k=0...ai),i=1...e) donc d'apres notre hypothese pour tout n sauf un un ensemble fini sigma(n)<2n donc sigma(n)/n<2 on sait que produit((sum(1/p^k,k=0...n),p premier) diverge car on cree la serie harmonique d'ou la contradiction
sauf erreur
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