Problème juillet 2014

Soit E un espace de Banach, f une application de E dans E linéaire continue injective  et (x_n) une suite bornée de E telle que f(x_n) ---> 0.  A-t-on  x_n--->0 ? justifier votre réponse.

si E de dim finie oui: car si l une valeur d'adherence differente de 0 de la suite x_n differente de 0 on x_phi(n) tend vers l f est continue donc f(x_phi(n)) tend vers f(l) differente de 0 impossible donc l ensemble des valeurs d'adherence ne peut etre que 0 xn tend vers 0
si E dim infinie aussi je pense: on a f est injective donc bijective de E dans f(E) on designe par f^(-1) la reciproque de f definie de f(E) dans E on a f^(-1) est continue il existe k dans R tq ||f^(-1)(x)||<k||x|| pour tout x dans f(E) donc maintenant x=f(xn-xm) donc ||xn-xm||<k||f(xn)-f(xm)|| elle est de cauchy donc elle converge vers l qui sera forcement 0 sauf erreur

galillee56 a écrit:

si E de dim finie oui: car si l une valeur d'adherence differente de 0 de la suite x_n differente de 0 on x_phi(n) tend vers l  f est continue donc f(x_phi(n)) tend vers f(l) differente de 0 impossible donc l ensemble des valeurs d'adherence ne peut etre que  0 xn tend vers 0
si E dim infinie aussi je pense: on a f est injective donc bijective de E dans f(E) on designe par f^(-1) la reciproque de f definie de f(E) dans E on a f^(-1) est continue il existe k dans R tq ||f^(-1)(x)||<k||x|| pour tout x dans f(E) donc maintenant x=f(xn-xm) donc ||xn-xm||<k||f(xn)-f(xm)|| elle est de cauchy donc elle converge vers l qui sera forcement 0 sauf erreur

f^(-1) est continue à justifier !
On a :
si f(E) est fermé alors f^(-1) est continue ( th de Banach)
et si f(E) n'est pas fermé ?