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Sujet: Problème décembre 2014 Dim 03 Aoû 2014, 14:26
Soit E l’ensemble des fonctions continues et bornées de IR dans IR, pour p entier non nul, on pose
N_p(f) =sup{|t|^p . exp(–|t|)|f(t)|, t ∈ IR}
1) Montrer que N_p est une norme 2) On pose φ(f) = f(c) où c est un réel fixé. φ est-elle continue ? 3) Montrer que pour p et q distincts, les normes N_p et N_q ne sont pas équivalentes.
galillee56 Expert grade2
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Sujet: Re: Problème décembre 2014 Dim 14 Sep 2014, 11:48
Spoiler:
1- evident 2-on remarque que phi et une forme lineaire donc on va considerer 2 cas: cas1: c different de 0 on a pour tout f dans E |c|^p . exp(–|c|)|f(c)|=<N_p(f) donc |phi(f)|=<exp(|c|)/|c|^p * Np(f) donc phi est continue cas 2 si c=0 on considere fn(x)=-n^(3p/2) (|x|-1/n^p) pour x dans [-1/n^p,1/n^p] et 0 ailleurs on a |t|^p . exp(–|t|)|fn(t)|=< 2*n^(p/2-p^2) pour tout t dans [-1/n^p,1/n^p] donc Np(fn) tend vers 0 mais phi(fn) tend vers +inf donc phi est non continue 3-supposons Np et Nq equivalente supposons q plus grand que p on considere fn(x)=-n^(p+1) (|x|-1/n) a Nq(fn) tend vers donc vu que Np et Nq sont equivalente Np(fn) tend vers 0 donc |t|^p . exp(–|t|)|fn(t)|<Np(fn) et on prenant x=1/2n et en faisant tendre vers +inf on trouve une contradiction 1/2^p<=0 impossible donc les 2 norme ne sont pas equivelente
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