Monde des équations fonctionnelles

Exo 1
pour commencer
trouvez toutes fonctions de R-----R qui vérifient
f(x).f(y)=f(x-y).
celui qui répond qu'il poste et numérote

L-W-P a écrit:

Exo 1
pour commencer
trouvez toutes fonctions de R-----R qui vérifient
f(x).f(y)=f(x-y).
celui qui répond qu'il poste et numérote

Solution Exo 1 ::

Exo 2

Trouver toutes les fonctions f:R--->R telles que :

on note P(x;y): f(x)f(y)=f(x-y)
- P(0;0) , f²(0)=f(0) <--> f(0)=1 ou f(0)=0
- P(x;x) , f²(x)=f(0) , si f(0)=0 alors f(x)=0 et si f(0)=1 alors f(x)=1 ou f(x)=-1 (or ce dernier cas n'est pas solution.
Donc: f(x)=0 ou f(x)=1
sauf erreur .
P.S: je viens de voir qu'Ahmed Taha vient lui aussi de poster la réponse :p

legend-crush a écrit:

on note P(x;y): f(x)f(y)=f(x-y)
- P(0;0) , f²(0)=f(0) <--> f(0)=1 ou f(0)=0
- P(x;x) , f²(x)=f(0) , si f(0)=0 alors f(x)=0 et si f(0)=1 alors f(x)=1 ou f(x)=-1 (or ce dernier cas n'est pas solution.
Donc: f(x)=0 ou f(x)=1
sauf erreur .
P.S: je viens de voir qu'Ahmed Taha vient lui aussi de poster la réponse :p

bien joué
moi j'ai oublié le cas de f(x)=-1

dans ce cas f(x)=-1 n'est pas une solution alors elle est éliminée

SOLUTION exo2
en encadrant f(x) entre x-1=<f(x) et f(x)=<x-1
on en déduit que f(x)=x-1.
j'attends votre confirmation pour poster le 3eme

L-W-P a écrit:

dans ce cas f(x)=-1 n'est pas une solution alors elle est éliminée

J'ai mentionné ce détail dans ma démo

legend-crush a écrit:

L-W-P a écrit:

dans ce cas f(x)=-1 n'est pas une solution alors elle est éliminée

J'ai mentionné ce détail dans ma démo  

pardon j'ai pas lu votre démarche.

L-W-P a écrit:

dans ce cas f(x)=-1 n'est pas une solution alors elle est éliminée

oui oui je sais c'est seulement une notation

car j'ai fais f²(x)=1=> f(x)=1 mais les solutions sont 1 et -1 puis on conclur...
pour comprendre bien la solution

exo 3
trouver toutes foctions de Z----Z AVEC  f(0)=1 et
pour tous n appartient à Z on a
f(f(n))=f(f(n+2)+2)=n

il parait bien que f est injective, en effet f(n)=f(m) --> fof(n)=fof(m) --> m=n
On demontre par réccurence que f(n)=1-n pour tout n de N. pour n=0 c'est vrai ( et pour 1 aussi)
HR: soit n de N, on suppose que l'assertion est juste jusqu'a n.
on démontre pour n+1: f(f(n+1)+2)=f(f(n-1)) --> f(n+1)=f(n-1)-2= 1-n+1-2=-n=1-(n+1)
donc f(n)=1-n pour tout n de N
On démontre a présent pour Z-, soit m de Z-:
f(f(m))=m=1-(1-m) =f(1-m) --> f(m)= 1-m ( vu l'injectivité de f)
Conclusion f(n)=1-n
Sauf Erreur, Je poste?

à vous de poster une EF.

Ok
Exercice 4:
trouver toutes les fonctions tel que:
pour tout  

legend-crush a écrit:

Ok
Exercice 4:
trouver toutes les fonctions   tel que:
    pour tout  

solution:

Exo 5 :
Trouver toutes les fonction f IR--->IR telles que pour tous x,y de IR²:

la solution n'est pas complete mais bon.
J'admet que f(0)=0 (ce qui est vrai et que je n'ai pas demontré)
P(0;x) --> f(f(x))=x
P(f(x);y) --> f(f(x)f(f(x))+y)=(f(f(x)))²+y --> f(xf(x)+y)=x²+y
Donc: x²+y=f(x)²+y --> f(x)²=x²
De ce fait: f(x)=x ou f(x)=-x
si quelqu'un a une idee pour f(0) , elle est la bienvenue.
Amicalement.

pour 0 j'ai pensé à montrer que f elle est injective et ceci par
f(-xf(x)-f(y))=(-f(x))^2 +y =(f(x))^2+y = f(xf(x)+f(y))
dés lors la fonction f est injective ; mais je ne sais pas trop si j'ai le droit de procéder ainsi    

charaf_X a écrit:

pour 0 j'ai pensé à montrer que f elle est injective et ceci par
f(-xf(x)-f(y))=(-f(x))^2 +y =(f(x))^2+y = f(xf(x)+f(y))
dés lors la fonction f est injective ; mais je ne sais pas trop si j'ai le droit de procéder ainsi    

f est bijective car P(0,x)=>f(f(x))=x+f²(0)

alors il existe un c de R tel que f(c)=0

P(c,0)=>f(f(0))=0 et P(0,0)=>f(f(0))=f²(0) alors f(0)=0

legend-crush a écrit:

la solution n'est pas complete mais bon.
J'admet que f(0)=0 (ce qui est vrai et que je n'ai pas demontré)
P(0;x) --> f(f(x))=x
P(f(x);y) --> f(f(x)f(f(x))+y)=(f(f(x)))²+y --> f(xf(x)+y)=x²+y
Donc: x²+y=f(x)²+y --> f(x)²=x²
De ce fait: f(x)=x ou f(x)=-x
si quelqu'un a une idee pour f(0) , elle est la bienvenue.
Amicalement.

Ce passage n'est pas permis.

Il faudra distinguer deux cas.
Puisque f²(x)=x², soit f(1)=1 soit f(1)=-1 .
***f(1)=1
On prend x=1, y=x dans L'EF de départ pour trouver f(f(x)+1)=x+1 donc (x+1)²=f²(f(x)+1)=(f(x)+1)²
Ainsi f²(x)+2f(x)=x²+2x ==> f(x)=x
***f(1)=-1
Avec la même méthode nous aboutissons à f(x)=-x.
Réciproquement x->x et x-> -x sont les deux solutions de l'équation de départ.

Exercice 6:  
Trouver toutes les fonctions strictement monotones de N vers N, tel que pour tous n de N,  on ait:

legend-crush a écrit:

Exercice 6:  
Trouver toutes les fonctions de N vers N, tel que pour tous n de N,  on ait:

Bonjour, d'où avez-vous eu ce problème Legend-crush ?

Humber a écrit:

Bonjour, d'où avez-vous eu ce problème Legend-crush ?

http://www.imosuisse.ch/skripte/algebra/fr-funktionalgleichungen_aufgaben.pdf dernière page

Je me doutais bien qu'il manquait quelque chose.
Veillez à copier l'énoncé comme il est s'il vous plaît.   

Voila, c'est edité, desolé pour l'erreur .