Monde des équations fonctionnelles

il est préféré de poster cet exercice dans le sujet consacré au inégalités -Monde des inégalités- afin que le travail soit un peu organisé pour ce je te demande d'éditer ton message et le remplacer par un exercice d'équation fonctionnelle

P(0,y)=f(y^2)=y^2
donc pour tout a de R+ on a f(a)=a et f(-a)=a
donc f(x)=|x| pour tout x de R
sauf erreur
si c est juste, je propose celui la:
f est une fonction de N vers N tel que f(x)<=x^2
et f(f(f(x)))f(f(y))=xy
combien y a t il de valeurs differentes pour f(30)

elidrissi a écrit:

P(0,y)=f(y^2)=y^2 (1)
donc pour tout a de R+ on a f(a)=a et f(-a)=a
donc f(x)=|x| pour tout x de R
sauf erreur

Si tu pouvais m'éclaircir quelques points, Merci .
Dans la première ligne, où est passé le f(0) qui, je pense, peut prendre les deux valeurs 0 et 1.
Aussi, comment as-tu pu conclure que f(-a)=a à partir du fait que f(y²)=y² ?
Merci d'avance,

je mexcuse. en effet. erreur d innatention. merci de me l avoir signalé
voila une autre methode:
f((x-y)^2=f(x)^2-2xf(y)+y^2=f(y)^2-2yf(x)+x^2
[f(x)+y]^2=[f(y)+x]^2
[f(x)+y]^2-[f(y)+x]^2=0
(f(x)+f(y)+x+y)(f(x)-f(y)+y-x)=0
f(x)+f(y)+x+y=0 ==> 2f(0)=0 ==> f(x)+f(0)=f(x)=-x
f(x)-f(y)+y-x=0 ==>f(x)=x+f(0)
en replacant x=y=0 au debut on obtient : f(0)=f(0)^2
f(0)=0 ou f(0)=1
donc f(x)=x ou f(x)=-x ou f(x)=x+1
pour f(x)=x cest clair, pour f(x)=x+1 on a :
f[(x-y)^2]=(x-y)^2+1
f(x)^2-2xf(y)+y^2=(x+1)^2-2x(y+1)+y^2=x^2+2x+1-2xy-2x+y^2=(x-y)^2+1 donc f[(x-y)^2]=f(x)^2-2xf(y)+y^2
pour f(x)=-x on a
f((x-y)^2)=-x^2+2xy-y^2=x^2+2xy+y^2 ce qui nest vrai que pour x=y=0
f(x)=x et f(x)=x+1 sont donc les 2 valeurs correctes
sauf erreur, et encore dsl pour tout a lheure

elidrissi a écrit:

(f(x)+f(y)+x+y)(f(x)-f(y)+y-x)=0
f(x)+f(y)+x+y=0 ==> 2f(0)=0 ==> f(x)+f(0)=f(x)=-x
f(x)-f(y)+y-x=0 ==>f(x)=x+f(0)

Desolé encore une fois, mais je voudrais savoir si ce passage est permis ?! Si quelqu'un a une connaissance approffondie en ce sujet, qu'il m'éclairssisse parceque j'ai des doutes sur ce passage

pourquoi ne serait-il pas permis? si un produit est nul donc l un des termes est nul.
si cest le premier qui est nul, on pose x=y=0 dans le premier pour obtenir f(0)=0 donc f(x)+f(0)=x
si cest le 2eme qui est nul, on pose y=0 pour avoir f(x)=x+f(0).
sauf erreur
je ne vois pas ou est la faute ._.

elidrissi a écrit:

pourquoi ne serait-il pas permis? si un produit est nul donc l un des termes est nul.
si cest le premier qui est nul, on pose x=y=0 dans le premier pour obtenir f(0)=0 donc f(x)+f(0)=x
si cest le 2eme qui est nul, on pose y=0 pour avoir f(x)=x+f(0).
sauf erreur
je ne vois pas ou est la faute ._.

Je sais pas, peut-être que la première est nulle dans des cas et l'autre dans des cas. Dans une autre ef, Humber m'a refusé l'impliication suivante:
f(x)²=x² => (f(x)-x)(f(x)+x)=0 -> f(x)=x ou f(x)=-x
Peut-être que ce que je dîs est faux mais quimporte, j'aimerai bien un petit eclairessisement

je ne sais pas comment expliquer plus. dans ton cas, ce ne serait pas parceque cest f²(x) et pas f(x)² ?
sinon je ne vois pas pourquoi c est faux moi non plus. on attends nos ainés pour voire

legend-crush a écrit:

Je sais pas, peut-être que la première est nulle dans des cas et l'autre dans des cas. Dans une autre ef, Humber m'a refusé l'impliication suivante:
f(x)²=x² => (f(x)-x)(f(x)+x)=0 -> f(x)=x ou f(x)=-x
Peut-être que ce que je dîs est faux mais quimporte, j'aimerai bien un petit eclairessisement

Normalement, tu as trouvé que: et cela n'équivaut pas à .
Le problème ici, c'est que les quantificateurs n'ont presque aucune valeur...

et dans mon cas, est-ce que c est correct ou je dois corriger?
merci bien ^^

M. Elidrissi, je vous félicite pour la solution que vous avez proposée: elle aboutit au même résultat que la solution du livre d'où j'ai copié l'exercice, et en plus elle est riche en détails et en explications.

Pour vous donner l'occasion de faire la comparaison, voici la solution du livre:

merci bien, Mr ^^
je repose le meme probleme :
f est une fonction de N vers N tel que f(x)<=x^2
et f(f(f(x)))f(f(y))=xy
combien peut il yavoir de valeurs differentes pour f(30)

Je ne suis pas sûr de ce que j'avance, vu que je sens l'odeur d'une erreur quelque part.

On a: f(0)=<0² ==> f(0)=0
Et f(1)=<1 ce qui fait f(1)=0 ou f(1)=1
On suppose que f(1)=0 et on prends x=1 et y=/=0 : f(f(f(1))).f(f(y))=y
==> y=0 contradiction.
Donc f(1)=1
On prends encore x=1 et y de N* : f(f(f(1))).f(f(y))=y => f(f(y))=y
ce qui fait que: f(f(f(x)))=f(x)
Alors on a: f(x).y=xy ==> f(x)=x
Donc la fonction f est: f(x)=x pour tout x de N
Alors il ya une unique valeur de f(30) ??

C'est correct .
Une autre alternatif x=y=1 implique que f(f(f(1)))=f(f(1))=1 donc f(1)=1 d'ou f(x)=x

non ce n est pas ca ^^
reflechissez-y encore un peu.

ce qui est demandé est de chercher les valeurs de f(30), n'est ce pas?

pas necessairement. juste le nombre de valeures qu elle peut prendre

Ou est l'erreur dans le raisonnement de legend-crush ?

f^3(x)=x pas f(x) ^^

f^3(x)=x donc f bijective donc ...

tu es sur le bon chemin ^^
petit indice :

Spoiler:

Je ne vois toujours pas l'erreur dans la raisonnement de Legend-Crush...

Sinon, la solution...En Spoiler?

Sketchup,pour eclaircir:

Citation :

On a: f(0)=<0² ==> f(0)=0
Et f(1)=<1 ce qui fait f(1)=0 ou f(1)=1
On suppose que f(1)=0 et on prends x=1 et y=/=0 : f(f(f(1))).f(f(y))=y
==> y=0 contradiction.
Donc f(1)=1
On prends encore x=1 et y de N* : f(f(f(1))).f(f(y))=y => f(f(y))=y
ce qui fait que: f(f(f(x)))=f(x)
Alors on a: f(x).y=xy ==> f(x)=x
Donc la fonction f est: f(x)=x pour tout x de N
Alors il ya une unique valeur de f(30) ??

si tu remplaces f^2(y) par y au debut, tu auras f^3(x)=x pas f^3(x)=f(x).
je vais laisser quelque temps pour que tout le monde s y mette. je posterai la solution si toujours pas de reponses apres demain.

Mais.... f^3(x)=f(f(f(x))) et f(f(x))=x ce qui fait que f^3(x)=f(x) ?