defi

trouver toutes les fonctions 5f(-x)+f(1-x)=2x

Bonsoir M. Mat9ich,
Je donne en premier une solution évidente de l'exercice et qui est: f : IR ---> IR
                                                                                              x i----> f(x) = -1/3 x + 1/18
J'essaierai maintenant de démontrer que c'est une solution unique: ceci sera incha allah dans mon prochain message.

Une remarque: votre pseudonyme ressemble au nom d'un grand professeur de Mathématiques qui a été mon professeur.

bon courage aymanemaysae
don si on pose f_0(x)=-1/3+1/18 et g=f-f_0 le probleme sera la recherche des fcts g tel que 5g(-x)+g(1-x)=0................

mntnant il faut montrer que g est nulle pour montrer l'unicité de ta fonction

on a 5f(-x)+f(1-x)=2x donc 5f(1-x)+f(-x)=2(x-1) et comme 25f(-x)+5f(1-x)=10x on a donc:
24f(-x)=10x+2(1-x)=8x+2 et donc f(-x)=x/3+1/12 et donc finalement:

f(x)=-1/3 x + 1/18

M. Yasserito a écrit:
on a 5f(-x)+f(1-x)=2x donc 5f(1-x)+f(-x)=2(x-1) et comme 25f(-x)+5f(1-x)=10x on a donc:
24f(-x)=10x+2(1-x)=8x+2 et donc f(-x)=x/3+1/12 et donc finalement:

f(x)=-1/3 x + 1/18

Je crois que c'est : 5f(-(x-1))+f(1-(x-1))=5f(1-x)+f(2-x)=2(x-1)

M. Mat9ich; j'ai beau cherché, mais je n'arrive pas à trouver l'astuce: j'ai même décomposé x en E(x) et {x} mais le résultat est 0 * g({x}) = 0, qui ne mène nul part.

Si vous pouvez me donner un petit indice, ce serait très gentil.

Pour animer un peu cette page, je propose cet exercice: Trouver toutes les fonctions de IR ---> IR qui vérifient   .

trouver une relation entre g(x) et g(-x)

Bonjour,
M. Mat9aich, je mets sous votre regard les prémisses d'une solution de votre équation fonctionnelle: j'aimerai que vous me donniez votre avis et remettre ma proposition sur le bon chemin si vous voyiez qu'elle s'égare.

Sur une autre page "EF", M. Abdelbaki Attioui s'est aussi attaqué à ce défi: si ça vous intéresse, vous pouvez y jeter un coup d'oeil.

Dieu vous pardonne M.Mat9aich, vous m'avez induit dans l'erreur, ce qui m'a coûté des nuits de recherches dans le mauvais sens: la solution que j'ai présumée comme étant unique, chose que vous avez confirmée et qui a dirigée mes recherches, ne l'est guère, il y'en a peut-être une infinité, puisque j'en ai trouvée une deuxième (voir ci-dessous):

salut
je pense qui il a une erreur de sign dans K(-x) dans la ligne 5 et donc la relation 6
je pense que ca devrait etre un +x/3 et pas -x/3 vu la definition de K(x)

Salut;
vous avez raison pour le "-" de la ligne 5, qui est une simple faute de frappe, et malgré ça, le resultat n° 6 reste valable, et donc l'unicité de la fonction f était une chimère, et je me demande encore pourquoi vous m'avez laissé errer dans ce chemin?

Pour ceux que ça intéressera, il y a une infinité de solutions à cette équation: je viens juste de le découvrir grâce à une indication d'un vétéran de ce cite et j'essaierai d'en faire profiter tous les visiteurs de cette page. 

maintenant, je pense qu'il est temps pour moi d'aller me coucher, car j'ai un "Jeudi" très chargé demain.

Bonne nuit!

Bonjour M. Mat9aich;
chose promise chose due, voici trois propositions de solutions de l'équation fonctionnelle sus mentionnée:
La première est l’œuvre de notre Administrateur M. Abdelbaki_Attioui qu'il a éditée sur la page du site "EF" et que je rééditerai ici à la fin comme "Misk Al Khitam".

La deuxième est l’œuvre de grands experts qui s'activaient sur "MathsMaroc" durant l'année 2009, et que j'ai trouvée sur la troisième page du lien suivant: https://mathsmaroc.jeun.fr/t12874p30-fonctions et qui même si elle n'est pas générale, elle couvre une grande partie de l'ensemble des solutions. Elle est comme suit:
f(x)=[a.(-5)^{(E(x) + k(x-E(x))} + b.(-5)^{(x + k(x-E(x))}]*k(x-E(x)) + (-x/3 + 1/18)
avec k une fonction quelconque, et (a;b in IR) .


La troisième est l’œuvre d'un grand professeur de Mathématiques, qui est pour moi "Un Grand Mathématicien": dommage que je ne connaisse de lui que le pseudonyme et le site sur lequel il s'active. Le lien de la page où j'ai trouvé sa solution est le suivant: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,904295,904328 . Sa solution est la suivante:

Je note la solution que tu as trouvée ( f0(x)=-x/3 +1/18).

Toute autre solution satisfait, pour tout nombre réel :

donc la fonction satisfait, pour tout nombre réel :


Ton problème est alors de déterminer le noyau de l'application linéaire :

avec une notation d'une pédanterie grotesque.
Ce noyau contient beaucoup de fonctions... puisque la relation :

te permet, par translations successives, de déterminer les valeurs de sur à partir des valeurs sur , et que, sur cet intervalle, peut être n'importe quoi.

En ce qui concerne la solution de M. Abdelbaki_Attioui, sa solution est comme suit:

5f(-x)+f(1-x)=2x

soit n=E[x]

5f(x-n)+f(x-n+1)=2(n-x)
5f(x-n+1)+f(x-n+2)=2(n-1-x)  multiplié par -1/5
5f(x-n+2)+f(x-n+3)=2(n-2-x)   multiplié par  (-1/5)²
5f(x-n+3)+f(x-n+4)=2(n-3-x)   multiplié par (-1/5)^3
....
5f(x-2)+f(x-1)=2(2-x)             multiplié par (-1/5)^(n-2)
5f(x-1)+f(x)=2(1-x)                multiplié par (-1/5)^(n-1)
__________________________________________________
5f(x-n)+(-1/5)^(n-1) f(x)= 2 somme( k=1 à n) (k-x) (-1/5)^(n-k)

Il suffit de connaitre f sur [0,1[

Je cois que j'ai tenu ma parole.

A la prochaine