points de discontinuité

Comment peut-on utilisé une famille sommable pour montrer qu'une fonction monotone de R dans R a un ensemble de discontinuité dénombrable?

Bonjour;
D'abord je voudrai vous remercier d'avoir proposé ce thème sur les familles sommables et discontinuité dénombrable: çà m'a permis d'aborder des notions qui m'étaient inconnues.

Le thème proposé fait allusion au "Théorème de Froda" : l'ensemble des points de discontinuité de première espèce d'une fonction réelle d'une variable réelle (définie sur un intervalle) est au plus dénombrable.

Sur la toile Web, j'ai trouvé cette démonstration:

Une fonction monotone admet des limites à droite f(x+) et à gauche f(x−) en chaque point, on pose s(x)=f(x+)−f(x−).
Sur un intervalle borné [a,b], la famille des (s(x))a≤x≤b est sommable, de somme inférieure à f(b−)−f(a+), donc son support est au plus dénombrable, et s(x)≠0 caractérise une discontinuité de f en x

J'ai trouvé aussi une démonstration en anglais:


Amicalement.

merci ta recherche
au prochaîn thème!