Partie entière

Résoudre dans R l'équation: xE(x)=x²-E(x)²

Bonjour;
Vu que je ne suis pas sûr de ma proposition, je vais donner une solution succincte:

- Pour x appartenant à Z, on a x = E(x) et donc l'équation est vérifiée.

- Pour x appartenant à R/Z , posons m = E(x) et n = x - E(x).
On a donc : 0 < n < 1 et x E(x) = x^2 - (E(x))^2 <--> (m + n) m = (m + n)^2 - m^2 <--> (m/n)^2 - (m/n) - 1 = 0 ,
donc (m/n) = (1 + racine(5))/2 ou (m/n) = (1 - racine(5))/2 , donc n = 2 m / (1 + racine(5)) ou n = 2 m / (1 - racine(5)),
et comme on a 0 < n < 1 on trouve m = 1 et par suite n = (racine(5) - 1)/2 , ce qui donne x = 1 + (racine(5) - 1)/2 =   (racine(5) + 1)/2.

En conclusion, on trouve que l'ensemble des solutions est {0 , (racine(5) + 1)/2} .

Bonnes vacances pour tous.

aymanemaysae a écrit:

Bonjour;
Vu que je ne suis pas sûr de ma proposition, je vais donner une solution succincte:

- Pour x appartenant à Z, on a x = E(x) et donc l'équation est vérifiée.

- Pour x appartenant à R/Z , posons m = E(x) et n = x - E(x).
On a donc : 0 < n < 1 et x E(x) = x^2 - (E(x))^2 <--> (m + n) m = (m + n)^2 - m^2 <--> (m/n)^2 - (m/n) - 1 = 0 ,
donc (m/n) = (1 + racine(5))/2 ou (m/n) = (1 - racine(5))/2 , donc n = 2 m / (1 + racine(5)) ou n = 2 m / (1 - racine(5)),
et comme on a 0 < n < 1 on trouve m = 1 et par suite n = (racine(5) - 1)/2 , ce qui donne x = 1 + (racine(5) - 1)/2 =   (racine(5) + 1)/2.

En conclusion, on trouve que l'ensemble des solutions est {0 , (racine(5) + 1)/2} .

Bonnes vacances pour tous.

Les solutions sont corrects mais attention x=E(x) ==> x=0

x E(x) = x² -E(x)² <==> E(x)²=x(x-E(x))>=0 ==> x>=0 car x-E(x)>=0
x E(x) = x² -E(x)² <==> 5E(x)²=(2x-E(x))² <==> V5E(x)=2x-E(x) (*) car x>=0
V5E(x)=2x-E(x) <E(x)+2 car x<E(x)+1
Mais 1<V5-1 et E(x)>=0==> E(x)=<(V5-1)E(X)<2 ==> E(x)=0 ou E(x)=1
si E(x)=0 , x=0
Si E(x)=1 , (*) donne x=(V5+1)/2

Bonjour;

Je vous remercie pour l'intérêt que vous portez pour toutes les solutions proposées.
La deuxième ligne de votre solution m'a vraiment émerveillé.

Merci.