limites et continuité

f est un fonction continue et positive sur R+ tel que lim f(x)/x < 1 (x-->+infini)
démontrer que l'equation f(x) = x admet au moins une solution dans R+
il s'agit de l'exo 92 p 44 manuel de maths terminal sm
merci d'avance

Bonjour,
je m'excuse pour le retard, mais j'étais à défaut de connexion.
Dans ma réponse, j'ai utilisé le Théorème des valeurs intermédiaires: j'espère que j'ai vu juste.

S'il y a des remarques,elles seront les bien venues.
Bon courage.

aucune remarque je te remercie chèrement!!

Bonsoir,
J'ai deux petites remarques:
*Si u=0 alors 1 n'appartient pas à l'intervalle ]u,u+1[.
*Si u=0 ,on ne peut pas appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à la fonction g sur [u,u+1]   (pourquoi?).

Bonsoir,
J'ai encore une autre petite remarque:En Terminale,on n'applique le théorème des valeurs intermédiaires que sur un intervalle de la forme [a,b].
Dans votre intervention d'aujourd'hui , il est souhaitable de préciser l'intervalle [a,b] sur lequel vous appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à la fonction g (cas 0<f(0)  ).


Amicalement.

Bonsoir,

Pour ce genre d’exercices c'est mieux de faire un dessin. Tu traces une courbe positive et asymptotiquement au dessous de la droite (D) y=x ( lim f(x)/x <1 veut dire que asymptotiquement f est au dessous de D). Le but de l'exercice est de démontrer que la courbe Cf de f franchit la droite (D).

Essaie de de dessiner Cf vérifiant les hypothèses sans qu'elle franchisse D! tu pourra pas car l'image de 0 doit être à la fois >=0 et au "dessous" de (D). Donc visuellement D coupe Cf d'ou l'idée qui suit.

si f(0) =0. c'est terminé sinon f(0) >0.

Sinon on considère E={x de R+ /f(x) =< x}
E est non vide ( du fait que lim f(x)/x <1 donc on trouvera des A tq f(A)<A ... ) .
E est partie non vide de R+* donc elle admet une borne inférieure c. ( vous l'avez remarqué, c est le premier point en commun entre D et Cf).
si f(c) < c, le fait que f est continue ==> qu'il existe un epsilon tel que cette inégalité est toujours vraie c' est à dire f(c-epsilon)<c-epsilon donc c-epsilon appartient à E et contredit la minimalité de c => absurde !
donc f(c)=c. cqfd

On peut supposer f(0)>0 sinon c'est terminé.
On pose a= lim f(x)/x (x-->+infini) , a<1.
Soit g:[0,pi/2] ---> R définie par :

g(x)= Arctan( f(tan(x))/tan(x) ) si x dans ]0,pi/2[
g(0)=pi/2>pi/4
g(pi/2)= Arctan(a)<pi/4

alors g est continue . TVI ==> il existe c dans ]0,pi/2[ : g(c)=pi/4 ==> f(tan(c))=tan(c)

Je viens de voir les solutions de Messieurs Selfrespect et Abdelbaki.Attioui: je suis vraiment très émerveillé, car j' y ai trouvé une panoplie de méthodes de très haut niveau.
je remercie donc M. Haddouch qui a initié cette discussion, M. Haikki qui était très patient et m'a guidé dans mes démarches, et enfin Messieurs Selfrespect et Abdelbaki.Attioui qui nous ont fait profiter de leur savoir.

Bonjour,

Je félécite aymanemaysae pour les efforts fournis et pour la patience dont il(elle) a fait preuve dans la recherche d'une solution au problème posé par HADDOUCH et je le(la) remercie en l'occurence.
Je remercie également abdelbaki.attioui et selfrespect pour les solutions proposées.

Ci-dessus une autre solution :
On a:f(x)/x tend vers un réel u qui appartient à [0,1[ lorsque x tend vers +l'infini . Donc pour le réel strictement positif (1-u)/2 ;  il existe 0<A tel que pour tout A<x ,f(x)/x <(1-u)/2+u =(u+1)/2 <1.Ainsi   f(A+1)< A+1 . Donc f(A+1) est inférieur ou égal à (A+1).
Soit g la fonction définie sur R+ par g(x)=f(x)-x .
En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires à la fonction g sur l'intervalle[0,A+1] ,il existe c dans [0,A+1] tel que g(c)=0. Il existe don c dans R+ tel que f(c)=c.   CQFD